Якщо в коливальному контурі ємність дорівнює 250 пФ, індуктивність дорівнює 2,5 мкГн і максимальна сила струму

Pizhon

20

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для электрического контура с колебательным зарядом:

\[Q = Q_0 \cdot \cos(\omega t + \phi)\]

где:
- \(Q\) - текущий заряд на обкладках конденсатора,
- \(Q_0\) - максимальный заряд (также называемый амплитудой заряда),
- \(\omega\) - угловая частота,
- \(t\) - время,
- \(\phi\) - начальная фаза.

Угловая частота \(\omega\) в колебательном контуре может быть вычислена с помощью следующей формулы:

\[\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]

где:
- \(L\) - индуктивность (2,5 мкГн),
- \(C\) - емкость (250 пФ).

Теперь давайте найдем угловую частоту:

\[C = 250 \, \text{пФ} = 250 \times 10^{-12} \, \text{Ф}\]
\[L = 2,5 \, \text{мкГн} = 2,5 \times 10^{-6} \, \text{Гн}\]

\[\omega = \frac{1}{\sqrt{(2,5 \times 10^{-6}) \times (250 \times 10^{-12})}}\]

Найдя значение угловой частоты \(\omega\), можно записать уравнение для колебаний заряда на обкладках конденсатора:

\[Q = Q_0 \cdot \cos(\omega t + \phi)\]

Максимальный заряд \(Q_0\) соответствует амплитуде и может быть найден из начальных условий задачи. В данном случае максимальная сила тока составляет 1,5 А. Так как ток в контуре связан с зарядом на обкладках конденсатора по формуле \(I = \frac{dQ}{dt}\), то можно записать:

\[I = \frac{dQ}{dt} = -Q_0 \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi)\]

При максимальной силе тока \(I_{\text{max}} = 1,5\) А значение производной \(\frac{dQ}{dt}\) также будет максимальным. Это означает, что при указанных условиях произодная обязана иметь максимум:

\[\frac{dQ}{dt} = -Q_0 \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi) = -I_{\text{max}}\]

Теперь мы можем использовать это уравнение, чтобы найти \(Q_0\):

\[1,5 = -Q_0 \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi)\]

\[Q_0 = -\frac{1,5}{\omega \cdot \sin(\omega t + \phi)}\]

Таким образом, мы получили уравнение колебаний заряда на обкладках конденсатора и можем найти максимальный заряд \(Q_0\) из этого уравнения. Не забывайте, что знак минус перед выражением означает, что заряд меняется по противоположной фазе по сравнению с током.