Якщо збільшити кут на дошці до горизонту, скільки часу займе брусок, щоб зісковзнути з верхнього краю дошки?

  • 62
Якщо збільшити кут на дошці до горизонту, скільки часу займе брусок, щоб зісковзнути з верхнього краю дошки?
Весенний_Дождь_3839
21
Для решения данной задачи, нам потребуется знание законов физики и точнее - закона сохранения механической энергии. Пусть масса бруска равна \(m\), начальная высота верхнего края дошки - \(h\), а угол между дошкой и горизонтом - \(\theta\).

При движении бруска сверху вниз, его потенциальная энергия будет уменьшаться, а его кинетическая энергия будет увеличиваться. Когда брусок достигнет нижнего края дошки, его потенциальная энергия будет равна нулю, а его кинетическая энергия будет максимальной.

Используя закон сохранения механической энергии, мы можем установить следующее равенство:

\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]

Где \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота падения (равная начальной высоте бруска), \(v\) - скорость бруска на нижнем краю дошки.

Масса \(m\) сократится в обоих частях уравнения, и мы получим:

\[gh = \frac{1}{2}v^2\]

Теперь нам нужно найти выражение для скорости \(v\). Мы можем использовать закон сохранения энергии вращения, учитывая, что энергия потенциальная энергия вращения на верхней точке и его кинетическая энергия на нижнем краю должны быть равны. Таким образом, мы можем записать:

\[I\omega^2 = mgh\]

Где \(I\) - момент инерции бруска, а \(\omega\) - его угловая скорость на нижнем краю.

Момент инерции \(I\) для бруска, который вращается относительно одной из своих осей симметрии, такой как сторона находящаяся на дошке, равен \(I = \frac{1}{12}ml^2\), где \(l\) - длина бруска.

Таким образом, мы имеем:

\[\frac{1}{12}ml^2\omega^2 = mgh\]

Масса \(m\) сокращается, и мы получаем:

\[\frac{1}{12}l^2\omega^2 = gh\]

Теперь нам нужно найти выражение для угловой скорости \(\omega\). Записав уравнение движения для бруска, мы можем найти связь между угловой скоростью \(\omega\) и линейной скоростью \(v\).

Уравнение движения для точки на верхней стороне бруска выглядит следующим образом:

\[a = r\omega^2\]

Где \(a\) - линейное ускорение точки на верхней стороне бруска, \(r\) - радиус точки относительно оси вращения (в данном случае равен половине длины бруска).

Учитывая это, мы имеем:

\[g\sin(\theta) = \frac{l}{2}\omega^2\]

Теперь мы можем найти выражение для угловой скорости \(\omega\):

\[\omega = \sqrt{\frac{2g\sin(\theta)}{l}}\]

Итак, мы получили выражения для угловой скорости \(\omega\) и скорости \(v\). Мы можем использовать их для решения исходной задачи.

Для того чтобы найти время, которое займет бруску чтобы зісковзнути з верхнього краю дошки, нам нужно разделить расстояние на скорость.

Брусок будет двигаться по формуле равноускоренного движения. Расстояние, которое он пройдет, равно \(l\), так как он начинает падать с верхнего края дошки.

Скорость \(v\) будет начальной скоростью для бруска. Используя уравнение равноускоренного движения:

\[l = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\]

Где \(v_0\) - начальная скорость (равна 0 в данном случае, так как брусок начинает спуск с покоя), \(a\) - линейное ускорение (равно \(g\sin(\theta)\)), \(t\) - время.

Подставив значения в уравнение, мы получим:

\[l = \frac{1}{2}g\sin(\theta)t^2\]

Решая это уравнение относительно времени \(t\), мы найдем время, которое займет бруску чтобы зісковзнути з верхнього краю дошки:

\[t = \sqrt{\frac{2l}{g\sin(\theta)}}\]

Таким образом, чтобы брусок зісковзнув з верхнього краю дошки, потребуется время, равное \(\sqrt{\frac{2l}{g\sin(\theta)}}\).