Яка кількість радіоактивного радону була спочатку, якщо після 11,4 часу його кількість зменшилася в 8 разів?

Magicheskiy_Troll

31

Для решения данной задачи, необходимо использовать формулу для экспоненциального убывания радиоактивного вещества:

\[N = N_0 \cdot e^{-kt}\]

где:
- \(N\) - конечное количество вещества после времени \(t\)
- \(N_0\) - начальное количество вещества
- \(k\) - коэффициент убывания
- \(t\) - время

По условию задачи, количество радона уменьшилось в 8 раз после 11.4 часа. Это означает, что:

\[N = \frac{N_0}{8}\] (1)

\[t = 11.4\] (2)

Теперь, чтобы найти коэффициент убывания \(k\), подставим значения из (1) и (2) в основную формулу:

\[\frac{N_0}{8} = N_0 \cdot e^{-k \cdot 11.4}\]

Делим обе части равенства на \(N_0\):

\[\frac{1}{8} = e^{-k \cdot 11.4}\]

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[\ln{\frac{1}{8}} = \ln{e^{-k \cdot 11.4}}\]

По свойству логарифма \(\ln{e^x} = x\), упрощаем выражение:

\[\ln{\frac{1}{8}} = -k \cdot 11.4\]

Делим обе части равенства на \(-11.4\):

\[k = -\frac{\ln{\frac{1}{8}}}{11.4}\]

Теперь, когда у нас есть значение коэффициента убывания, мы можем использовать его для нахождения начального количества радона \(N_0\). Подставляем значение коэффициента и время \(t\) в основную формулу и решаем уравнение относительно \(N_0\):

\[\frac{N_0}{8} = N_0 \cdot e^{\left(-\frac{\ln{\frac{1}{8}}}{11.4}\right) \cdot t}\]

Делим обе части равенства на \(N_0\):

\[\frac{1}{8} = e^{\left(-\frac{\ln{\frac{1}{8}}}{11.4}\right) \cdot t}\]

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:

\[\ln{\frac{1}{8}} = \left(-\frac{\ln{\frac{1}{8}}}{11.4}\right) \cdot t\]

Делим обе части равенства на \(\left(-\frac{\ln{\frac{1}{8}}}{11.4}\right)\):

\[t = \frac{\ln{\frac{1}{8}}}{-\left(\frac{\ln{\frac{1}{8}}}{11.4}\right)}\]

Теперь, подставляя значение времени \(t\) в эту формулу, мы можем найти начальное количество радиоактивного радона \(N_0\).

Но специально для вашего удобства, я могу решить эту задачу численно, чтобы вам было понятнее.