Яку довжину має нитка, до якої прикріплена важка кулька, що обертається в горизонтальній площині? Кут між ниткою

Koko

58

Щоб знайти період обертання кульки, ми можемо застосувати формулу періоду коливання \(T\) у випадку кінематичних коливань з простою гармонічною рухомістю:

\[T = \frac{2\pi}{\omega},\]

де \(\omega\) - кутова швидкість руху кульки. Щоб знайти \(\omega\), нам спочатку потрібно знайти період углового обертання \(T_1\) кульки, тобто час, за який кулька повертається на один повний оберт.

У нашому випадку, кут між ниткою і вертикаллю становить 60 градусів. Розглянемо трикутник, утворений ниткою і вертикаллю. Ми можемо використати тригонометрію, і зокрема, тригонометричні співвідношення для прямокутного трикутника. Коли кут між ниткою і вертикаллю дорівнює 60 градусів, тоді існує деякий кут \(x\), який є комплементним цьому куту.

Таким чином, ми маємо \(x + 60 = 90\) градусів, звідки \(x = 90 - 60 = 30\) градусів.

Далі, ми можемо використовувати вирази \(\cos(x)\) і \(\sin(x)\) для знаходження відношення вертикальної складової натягу нитки до довжини нитки \(L\).

За виразом \(\cos(x) = \frac{\text{вертикальна складова}}{L}\), ми можемо визначити вертикальну складову як \(L \cdot \cos(x)\), аналогічно, за виразом \(\sin(x) = \frac{\text{горизонтальна складова}}{L}\), горизонтальну складову - \(L \cdot \sin(x)\).

Тепер ми можемо записати другий закон Ньютона для центростремального прискорення на кульку: \(\text{результату контрагентуючо сили} = m \cdot a_c\), де \(m\) - маса кульки, \(a_c\) - центростремальне прискорення.

Ми знаємо, що результат контрагентуючої сили є вертикальною складовою натягу нитки, тобто \(L \cdot \cos(x)\), а центростремальне прискорення можна виразити як \(a_c = \omega^2 \cdot r\), де \(r\) - радіус обертання кульки.

Ми можемо розрахувати радіус як \(r = L \cdot \sin(x)\). Отже, ми отримуємо \(\text{вертикальна складова} = m \cdot \omega^2 \cdot L \cdot \sin(x)\).

Підставляємо вирази для вертикальної складової натягу нитки в рівняння другого закону Ньютона:

\(L \cdot \cos(x) = m \cdot \omega^2 \cdot L \cdot \sin(x)\).

Спрощуючи вираз, отримуємо \(\cos(x) = \omega^2 \cdot \sin(x)\).

Використовуючи співвідношення для тангенса \(tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), ми можемо записати це як \(\tan(x) = \omega^2\).

Тепер можемо знайти \(\omega\), перетворивши останнє рівняння:

\(\omega = \sqrt{\tan(x)}\).

Тепер ми знаємо \(\omega\), тому можемо обчислити період обертання \(T\) за формулою:

\[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{\tan(x)}}.\]

Таким чином, період обертання кульки буде \(\frac{2\pi}{\sqrt{\tan(30)}}\approx 4.435\) секунди.

Сподіваюсь, що це пояснення було зрозумілим. Будь ласка, повідомте мені, якщо вам потрібне будь-яке інше уточнення чи пояснення.