Яку довжину має сторона ac в трикутнику abc, якщо ak = 6 см, kb = 2√3 і радіус описаного навколо трикутника abc кола

Pechenka_2211

70

Для розв"язання цієї задачі використаємо властивості трикутника. За теоремою косинусів, ми можемо знайти довжину сторони \( AC \) за допомогою такої формули:

\[ AC^2 = AK^2 + KC^2 - 2 \cdot AK \cdot KC \cdot \cos(\angle AKC) \]

За умовою задачі, нам відомо, що \( AK = 6 \) см і \( KC = 2\sqrt{3} \) см. Тож підставимо ці значення в формулу:

\[ AC^2 = 6^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AKC) \]

Обчислимо це вираз:

\[ AC^2 = 36 + 12 - 24\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AKC) \]

Тепер, для розрахунку косинуса кута \( \cos(\angle AKC) \), використаємо другу властивість трикутника. Використовуючи формулу радіусу описаного кола навколо трикутника:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

де \( a \), \( b \), і \( c \) - довжини сторін трикутника, а \( S \) - його площа. Нам відомо, що радіус описаного навколо трикутника кола дорівнює \( 15\sqrt{3} \), тож підставимо відповідні значення:

\[ 15\sqrt{3} = \frac{AK \cdot KC \cdot AC}{4S} \]

Ми також знаємо, що площа трикутника \( S \) може бути обрахована за формулою Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

де \( p = \frac{a + b + c}{2} \). В нашому випадку, ми маємо дві відомі сторони \( AK \) і \( KC \), тож можемо обчислити \( p \):

\[ p = \frac{AK + KC + AC}{2} \]

\[ p = \frac{6 + 2\sqrt{3} + AC}{2} \]

Тепер ми маємо достатньо інформації, щоб знайти \( S \) та підставити це значення в формулу для радіусу кола. Ми також можемо записати косинус кута \( \cos(\angle AKC) \) як \( \frac{AK^2 + KC^2 - AC^2}{2 \cdot AK \cdot KC} \). Підставимо ці значення в рівняння:

\[ 15\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot AC}{4 \cdot S} \]

\[ 15\sqrt{3} = \frac{36\sqrt{3} \cdot AC}{4 \cdot S} \]

\[ S = 36\sqrt{3} \cdot \frac{AC}{15\sqrt{3}} \]

Скоротимо спільний множник \( \sqrt{3} \):

\[ S = 36 \cdot \frac{AC}{15} \]

\[ S = \frac{12AC}{5} \]

Тепер підставимо значення \( S \) в формулу для радіусу описаного кола:

\[ 15\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot AC}{4 \cdot \frac{12AC}{5}} \]

\[ 15\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot AC}{4} \cdot \frac{5}{12AC} \]

\[ 15\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5}{4 \cdot 12} \]

\[ 15\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5}{48} \]

Ми можемо спростити це рівняння:

\[ 15 = \frac{6 \cdot 5}{48} \]

Помножимо обидві сторони на \( 48 \):

\[ 15 \cdot 48 = 6 \cdot 5 \]

\[ 720 = 30 \]

Отриманий результат \( 720 = 30 \) є некоректним. Це означає, що дана задача не має розв"язку, оскільки отримане рівняння є суперечливим. Тому цей трикутник з заданими сторонами не існує.