Яку довжину має сторона рівностороннього трикутника, якщо радіус описаного кола дорівнює 2√3?

Zoloto

43

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые знания о свойствах равносторонних треугольников и окружностей.

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Пусть длина стороны равностороннего треугольника равна \(x\).

Также мы знаем, что радиус описанной окружности равен \(2\sqrt{3}\).

Описанная окружность равностороннего треугольника проходит через все вершины треугольника и центр этой окружности является центром равностороннего треугольника.

Таким образом, от центра окружности до любой вершины треугольника равносстояние и равно радиусу описанной окружности.

В равностороннем треугольнике можно нарисовать высоту, которая будет являться биссектрисой треугольника и опускаться на середину основания.

Так как высота является биссектрисой равностороннего треугольника, она делит основание на две равные части.

Тогда получаем два прямоугольных треугольника внутри равностороннего треугольника.

Рассмотрим один из них. Полуоснование равны основанию равностороннего треугольника и равно \(\frac{x}{2}\). Опускаемая высота является медианой и делит полуоснование пополам.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

\((\frac{x}{2})^2 = (\frac{x}{4})^2 + h^2\), где \(h\) - высота треугольника.

\(\frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{16} + h^2\)

\(\frac{3x^2}{16} = h^2\)

Поскольку от центра окружности до любой вершины треугольника равностороннего треугольники равно радиусу, то

\(h = 2\sqrt{3}\)

Подставим значения:

\(\frac{3x^2}{16} = (2\sqrt{3})^2\)

\(\frac{3x^2}{16} = 12\)

Умножаем обе части уравнения на \(\frac{16}{3}\):

\(x^2 = 64\)

Извлекаем квадратный корень:

\(x = \sqrt{64} = 8\)

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника равна 8.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как мы пришли к этому ответу. Если у вас есть другие вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!