Яку довжину має вертикально підвішена дротина діаметром 1 мм і яким був її витяг після підвішування на 2-кілограмовий

Арбуз

14

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать закон Гука для упругих деформаций и формулу для вычисления модуля Юнга материала.

Закон Гука гласит, что удлинение \( \Delta L \) стержня прямо пропорционально приложенной силе \( F \) и обратно пропорционально его площади поперечного сечения \( S \) и модулю Юнга \( Y \):

\[ F = \frac{{YS\Delta L}}{{L_0}} \]

где:
\( F \) - приложенная сила (в данном случае, масса вантажа умноженная на ускорение свободного падения),
\( Y \) - модуль Юнга материала дрота,
\( S \) - площадь поперечного сечения дрота,
\( \Delta L \) - удлинение дрота,
\( L_0 \) - исходная длина дрота.

Мы знаем, что диаметр дрота составляет 1 мм, поэтому его радиус \( r \) будет равен \( \frac{1}{2} \) мм, или 0,5 мм, что при переводе в метры составляет 0,0005 м.

Площадь поперечного сечения дрота \( S \) можно вычислить по формуле:

\[ S = \pi r^2 \]

Подставив известные значения, получаем:

\[ S = \pi \cdot (0,0005)^2 \approx 7,85 \times 10^{-7} \, м^2 \]

Далее, мы можем найти удлинение дрота \( \Delta L \) по формуле:

\[ \Delta L = \frac{{F \cdot L_0}}{{YS}} \]

Мы знаем, что удлинение дрота составляет 0,21 мм, или 0,00021 м (переведено в метры).

Теперь мы можем решить данную формулу относительно модуля Юнга \( Y \):

\[ Y = \frac{{F \cdot L_0}}{{S \cdot \Delta L}} \]

Подставив известные значения, получаем:

\[ Y = \frac{{(2 \, кг) \cdot (10 \, м/с^2) \cdot (L_0)}}{{(7,85 \times 10^{-7} \, м^2) \cdot (0,00021 \, м)}} \]

В задаче нам также дано значение ускорения свободного падения \( g \), которое составляет 10 м/с². Мы можем использовать это значение вместо \( F \):

\[ Y = \frac{{(2 \, кг) \cdot (10 \, м/с^2) \cdot (L_0)}}{{(7,85 \times 10^{-7} \, м^2) \cdot (0,00021 \, м)}} \]

Однако, чтобы найти исходную длину дрота \( L_0 \), нам необходимо использовать другую формулу. Мы можем использовать уравнение свободного падения:

\[ h = \frac{{g \cdot t^2}}{2} \]

где:
\( h \) - путь падения тела (удлинение дрота в данном случае),
\( g \) - ускорение свободного падения (10 м/с²),
\( t \) - время падения.

Мы узнаем, что удлинение дрота составляет 0,21 мм. Подставив известные значения, получаем:

\[ 0,00021 \, м = \frac{{(10 \, м/с^2) \cdot t^2}}{2} \]

Упростим это выражение:

\[ t^2 = \frac{{(0,00021 \, м) \cdot 2}}{{10 \, м/с^2}} \]
\[ t^2 = 0,000042 \, с^2 \]
\[ t = \sqrt{0,000042} \, с \]

\[ t \approx 0,00649 \, с \]

Теперь, мы можем использовать найденное значение времени \( t \) в другой формуле для нахождения исходной длины дрота \( L_0 \):

\[ L_0 = \frac{{g \cdot t^2}}{2} \]

\[ L_0 = \frac{{(10 \, м/с^2) \cdot (0,00649 \, с)^2}}{2} \]

\[ L_0 \approx 3,317 \times 10^{-4} \, м \]

Теперь, мы можем использовать найденное значение \( L_0 \) и подставить его в формулу для нахождения модуля Юнга \( Y \):

\[ Y = \frac{{(2 \, кг) \cdot (10 \, м/с^2) \cdot (3,317 \times 10^{-4} \, м)}}{{(7,85 \times 10^{-7} \, м^2) \cdot (0,00021 \, м)}} \]

\[ Y \approx 1,49 \times 10^{11} \, Па \]

Ответ: Модуль Юнга материала дрота составляет примерно \( 1,49 \times 10^{11} \) Па.