Яку довжину мають мати рейки, щоб маятник, завдовжки 1 м, розгойдувався від поштовхів на стиках рейок під час руху

Морской_Бриз

57

Для розв"язання цієї задачі, нам знадобиться використати закон збереження енергії. Загальна енергія маятника, що залежить від його довжини та швидкості, повинна бути рівна початковій енергії, яку отримав маятник від поштовху.

Почнемо з обчислення початкової енергії маятника. Початкова енергія маятника складається з потенціальної (Еп) та кінетичної (Ек) енергії:

\[ E_{\text{поч}} = E_{\text{п}} + E_{\text{к}} \]

Потенціальна енергія маятника обчислюється за формулою:

\[ E_{\text{п}} = mgh \]

де \(m\) - маса маятника, \(g\) - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с²), а \(h\) - висота, на яку підійшла маятник.

Висота маятника може бути обчислена як різниця між довжиною маятника та відстанню від точки підвісу до рейок. Оскільки рейки знаходяться на рівні з підвісом, то висота маятника дорівнює нулю.

Тому, потенціальна енергія маятника буде:

\[ E_{\text{п}} = m \cdot 9.8 \cdot 0 = 0 \]

Кінетична енергія маятника обчислюється як:

\[ E_{\text{к}} = \frac{1}{2}mv^2 \]

де \(v\) - швидкість маятника. В нашому випадку, маятник розгойдується на стиках рейок під час руху потяга зі швидкістю 6.23 м/с. Тому, швидкість маятника дорівнює 6.23 м/с.

Підставляємо знайдені значення у формулу для кінетичної енергії:

\[ E_{\text{к}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (6.23)^2 \]

Таким чином, загальна енергія маятника на початку руху буде рівна:

\[ E_{\text{поч}} = 0 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot (6.23)^2 \]

На початку руху маятник має максимальну енергію, тому цей значок є максимальною висотою, на яку зможе підійти маятник.

Аби розрахувати довжину рейок, нам потрібно знати величину маси маятника. Давайте покладемо для прикладу, що маса маятника дорівнює 1 кг (1000 г).

Підставимо відомі значення в формулу і розрахуємо довжину рейок:

\[ E_{\text{поч}} = 0 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (6.23)^2 \]

\[ E_{\text{поч}} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (6.23)^2 \]

\[ E_{\text{поч}} = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 38.7529 \]

\[ E_{\text{поч}} = 19376.45 \, \text{Дж} \]

Тепер, оскільки початкова енергія маятника є максимальною висотою, на яку підійшов маятник, ми можемо визначити висоту маятника за формулою потенціальної енергії:

\[ E_{\text{поч}} = mgh \]

\[ 19376.45 = 1000 \cdot 9.8 \cdot h \]

\[ 19376.45 = 9800h \]

\[ h = \frac{19376.45}{9800} \]

\[ h \approx 1.977 \, \text{м} \]

Таким чином, рейки повинні мати довжину близько 1.977 метрів, щоб маятник, завдовжки 1 метр, розгойдувався від поштовхів на стиках рейок під час руху потяга зі швидкістю 6.23 м/с.