Яку масу має перший візок, що стоїть на гладкій горизонтальній поверхні, коли між ним і другим візком знаходиться

Sverkayuschiy_Gnom

42

У нас есть ситуация, где между первым и вторым вагонами находится изогнутая пластина, к которой привязана нить. Нам нужно определить массу яки, чтобы нить перепала, при условии, что первый вагон стоит на гладкой горизонтальной поверхности.

Для решения этой задачи, нам понадобятся законы новтона и принцип сохранения энергии.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на первый вагон вниз по нити, равна силе тяжести, действующей на як:

\[F_{\text{тяж}} = m_{\text{як}} \cdot g\]

где \(m_{\text{як}}\) - масса яка, \(g\) - ускорение свободного падения.

Так как первый вагон находится на гладкой поверхности и покоится, сумма всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю. Силой, действующей вверх, является натяжение нити. Тогда:

\[F_{\text{нат}} = m_{\text{як}} \cdot g\]

Теперь рассмотрим пластину. При перепаде нити, натяжение на пластине должно быть равным нулю:

\[F_{\text{нат}} - F_{\text{упр}} = 0\]

где \(F_{\text{упр}}\) - сила упругости пластины.

Поскольку пластина изогнутая, она работает как пружина. Согласно закону Гука, сила упругости связана с величиной деформации:

\[F_{\text{упр}} = k \cdot x\]

где \(k\) - коэффициент упругости пластины, \(x\) - деформация пластины.

Теперь, используя закон сохранения энергии, мы можем установить связь между энергией потенциальной и кинетической энергией в системе:

\[m_{\text{як}} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m_{\text{як}} \cdot v^2 + \frac{1}{2} k \cdot x^2\]

где \(h\) - высота, на которую поднимается як, \(v\) - скорость яка, \(x\) - деформация пластины.

Теперь, объединяя все эти уравнения, мы можем решить задачу:

\[m_{\text{як}} \cdot g = k \cdot x\]
\[m_{\text{як}} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} m_{\text{як}} \cdot v^2 + \frac{1}{2} k \cdot x^2\]

Можем разделить уравнения и подставить первое во второе:

\[x \cdot h = \frac{1}{2} v^2 + \frac{1}{2} x^2\]

Теперь решим уравнение относительно \(x\):

\[x^2 - 2hx + v^2 = 0\]

Применим квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим значения:

\[a = 1, \quad b = -2h, \quad c = v^2\]

\[x = \frac{-(-2h) \pm \sqrt{(-2h)^2 - 4 \cdot 1 \cdot v^2}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{2h \pm \sqrt{4h^2 - 4v^2}}{2}\]

Упростим выражение:

\[x = h \pm \sqrt{h^2 - v^2}\]

Из условия задачи нам нужно найти массу яка, при условии, что нить перепала, то есть деформация пластины равна нулю (\(x = 0\)). Подставим это значение в полученное уравнение:

\[0 = h \pm \sqrt{h^2 - v^2}\]

Теперь выразим массу яка:

\[m_{\text{як}} = \frac{F_{\text{нат}}}{g} = \frac{k \cdot x}{g} = \frac{k}{g} (h \pm \sqrt{h^2 - v^2})\]

Итак, масса яка будет равна \(\frac{k}{g} (h \pm \sqrt{h^2 - v^2})\), где \(k\) - коэффициент упругости пластины, \(h\) - высота подъема яка, \(v\) - скорость яка.