Яку площу має круг, описаний навколо рівнобедреного трикутника з основою 8см і кутом при вершині 120°?

Юпитер

53

Чтобы найти площадь круга, описанного вокруг данного ривнобедренного треугольника, нам понадобится знать радиус этого круга.

Для начала, давайте найдем высоту треугольника, проведенную к основанию. Поскольку треугольник является равнобедренным, это означает, что его высота будет также являться медианой и перпендикулярна к основанию.

Чтобы найти высоту, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \times h \times b,\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(h\) - высота, \(b\) - длина основания.

Из условия задачи, мы знаем, что длина основания равна 8 см. Подставляя это значение в формулу, получаем:

\[S = \frac{1}{2} \times h \times 8.\]

Так как треугольник равнобедренный, его площадь можно найти по формуле:

\[S = \frac{{a^2 \times \sqrt{3}}}{4},\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, нам необходимо знать длину стороны. Из геометрического свойства равнобедренного треугольника, мы можем выразить длину стороны через основание и угол при вершине.

В данном случае, у нас дано основание треугольника равное 8 см, а также известно, что угол при вершине равен 120°.

Мы можем использовать формулу для вычисления длины стороны треугольника:

\[a = \frac{{b}}{{2 \times \sin\left(\frac{{\angle A}}{2}\right)}},\]

где \(a\) - длина стороны треугольника, \(b\) - длина основания треугольника, \(\angle A\) - угол при вершине треугольника.

Подставим известные значения:

\[a = \frac{{8}}{{2 \times \sin\left(\frac{{120}}{2}\right)}}.\]

Теперь, имея длину стороны треугольника, мы можем найти его площадь, подставив все известные значения в формулу:

\[S = \frac{{a^2 \times \sqrt{3}}}{4}.\]

Вычислив это выражение, получим площадь равнобедренного треугольника.

Воспользовавшись найденной площадью, мы можем найти радиус описанного круга. Помните, что вокруг равнобедренного треугольника, радиус описанного круга проходит через середину основания из треугольника до вершины.

Радиус описанного круга можно найти с помощью формулы:

\[R = \frac{{a}}{{2 \times \sin\left(\frac{{\angle A}}{2}\right)}},\]

где \(R\) - радиус описанного круга, \(a\) - длина стороны треугольника, \(\angle A\) - угол при вершине треугольника.

Подставляем известные значения:

\[R = \frac{{8}}{{2 \times \sin\left(\frac{{120}}{2}\right)}}.\]

Вычисляя это выражение, получаем радиус описанного круга.

Наконец, после нахождения радиуса, мы можем найти площадь круга с помощью формулы:

\[S_{\text{круга}} = \pi \times R^2,\]

где \(S_{\text{круга}}\) - площадь круга, \(\pi\) - число пи, \(R\) - радиус круга.

Подставляя значение радиуса, найденного ранее, мы можем вычислить площадь указанного круга.

Таким образом, данный пошаговый алгоритм позволяет найти площадь круга, описанного вокруг равнобедренного треугольника. Будет полезно проверить все вычисления и использовать калькулятор для точных вычислений чисел и результата.