Яку радіус має коло, що дотикається до більшого катета і проходить через вершину протилежного гострого кута

Летающий_Космонавт

18

Давайте розглянемо цю задачу крок за кроком.

Ми маємо прямокутний трикутник, гіпотенуза якого являє собою коло, і коло дотикається до більшого катета і проходить через вершину протилежного гострого кута. Ми хочемо знати радіус цього кола.

Позначимо більший катет як \(a\) і менший катет як \(b\). Задано, що значення катетів становлять 5 см. Тоді \(a = 5\) см і \(b = 5\) см.

Знаючи, що коло дотикається до більшого катета, ми можемо використати теорему тангентів. За цією теоремою, відстань від вершини протилежного гострого кута до точки дотику цього кола дорівнює радіусу кола.

Тому, якщо \(r\) є радіусом кола, то ми маємо відношення \(\frac{b}{r} = \tan(\angle B)\), де \(\angle B\) - протилежний гострий кут. Тут важливо знати, що тангенс кута є співвідношенням протилежного катету до прилеглого катету.

У нашому випадку, \(\angle B\) є кутом, що ми шукаємо, і це кут з між протилежним катетом \(b\) та гіпотенузою кола. Зокрема, ми маємо \(\tan(\angle B) = \frac{b}{r}\).

Аналогічно, ми можемо отримати вираз для кута між протилежним катетом \(a\) та гіпотенузою кола. Нехай \(\angle A\) - кут, який ми шукаємо, тоді \(\tan(\angle A) = \frac{a}{r}\).

Оскільки коло проходить через вершину протилежного гострого кута, ці два кути \(\angle A\) і \(\angle B\) є сумою 90 градусів, тобто \(\angle A + \angle B = 90\). Заміняючи вирази для тангенсів кутів, ми отримуємо \(\frac{a}{r} + \frac{b}{r} = 90\).

Підставимо відомі значення катетів \(a = 5\) та \(b = 5\) в останнє рівняння: \(\frac{5}{r} + \frac{5}{r} = 90\).

Складаємо одне рівняння з двома доданками: \(\frac{10}{r} = 90\).

Тепер ми можемо розв"язати це рівняння, щоб знайти значення радіусу \(r\). Перемноживши обидві сторони рівняння на \(r\), отримуємо \(10 = 90r\). Поділивши обидві сторони на 90, отримуємо \(r = \frac{10}{90}\). Скорочуючи дріб до найпростішого вигляду, ми маємо \(r = \frac{1}{9}\) см.

Отже, радіус кола, яке дотикається до більшого катета та проходить через вершину протилежного гострого кута прямокутного трикутника, становить \(\frac{1}{9}\) см.