Яку різницю мають відрізки, на які перпендикуляр, опущений з точки кола на його діаметр, ділить діаметр, а довжина

Милая_8599

43

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Пусть \(d\) - это диаметр кола, а \(r\) - его радиус. Мы не знаем значение радиуса, которое нам нужно найти.

Мы знаем, что перпендикуляр, опущенный из точки на окружности на диаметр, делит диаметр на два отрезка. Пусть эти отрезки равны \(x\) и \(y\).

Таким образом, мы имеем следующую ситуацию:

\[\begin{align*}
d &= x + y \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \, (1) \\
xy &= 5 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \, (2)
\end{align*}\]

Мы также знаем, что диаметр можно выразить через радиус, используя соотношение: \(d = 2r\).

Давайте найдем значения \(x\) и \(y\) из уравнения (2), подставим их в уравнение (1) и решим систему уравнений для нахождения радиуса \(r\).

Из уравнения (2) мы можем выразить одну из переменных, скажем, \(x\), через другую, \(y\):

\[x = \frac{5}{y}\]

Подставим это значение \(x\) в уравнение (1):

\[d = \frac{5}{y} + y\]

Теперь подставим \(d = 2r\):

\[2r = \frac{5}{y} + y\]

Умножим обе части на \(y\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[2ry = 5 + y^2\]

А теперь преобразуем это уравнение в квадратное:

\[y^2 + 2ry - 5 = 0\]

Теперь, используя формулу дискриминанта, найдем значение \(y\):

\[D = (2r)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4r^2 + 20\]

Так как уравнение квадратное и у него положительный дискриминант, то у него есть два корня:

\[y = \frac{-2r + \sqrt{4r^2 + 20}}{2}\]
\[y = \frac{-2r - \sqrt{4r^2 + 20}}{2}\]

Напомню, что у нас есть еще уравнение (2): \(xy = 5\). Подставим один из найденных корней для \(y\) в это уравнение и найдем соответствующее значение \(x\).

\[x = \frac{5}{y}\]

Теперь у нас есть две пары значений для \(x\) и \(y\). Подставим их в уравнение (1) и найдем радиус \(r\).