Яку швидкість матиме човен після стрибка хлопчика, якщо він стрибає з носа човна у напрямку його руху? Яку швидкість

Руслан

33

Для того чтобы решить данную задачу, нам понадобится некоторая информация о законах физики, связанных с сохранением импульса.

Импульс определяется как произведение массы тела на его скорость. При этом, закон сохранения импульса утверждает, что если на систему не действует внешняя сила, то сумма импульсов до и после взаимодействия останется неизменной.

Для решения задачи в первом случае, когда мальчик прыгает с носа лодки в направлении ее движения, необходимо учесть их взаимное движение после прыжка.

Обозначим через \(m\) массу лодки и через \(v\) ее скорость.

1) Когда мальчик находится на носу лодки до прыжка, его импульс равен \(m \cdot 0 = 0\), так как его скорость нулевая.

2) После прыжка импульс мальчика равен \(m_{\text{мальчика}} \cdot v_{\text{мальчика}}\), а импульс лодки равен \((m - m_{\text{мальчика}}) \cdot v_{\text{лодки}}\), где \(m_{\text{мальчика}}\) - масса мальчика, \(v_{\text{мальчика}}\) - скорость мальчика после прыжка, \(v_{\text{лодки}}\) - скорость лодки после прыжка.

3) Закон сохранения импульса гласит, что импульс до прыжка равен импульсу после прыжка:
\[0 = m_{\text{мальчика}} \cdot v_{\text{мальчика}} + (m - m_{\text{мальчика}}) \cdot v_{\text{лодки}}\]

4) Так как мальчик после прыжка оказывается на лодке, то его масса \(m_{\text{мальчика}}\) ничем не изменяется. Мы не знаем скорость мальчика после прыжка, поэтому обозначим ее через \(v"\). Аналогично, обозначим скорость лодки после прыжка как \(v"\).

Теперь мы можем переписать уравнение \(0 = m_{\text{мальчика}} \cdot v" + (m - m_{\text{мальчика}}) \cdot v"\) как
\[0 = m_{\text{мальчика}} \cdot v" + m \cdot v" - m_{\text{мальчика}} \cdot v"\]
\[0 = v" \cdot (m_{\text{мальчика}} + m - m_{\text{мальчика}})\]
\[0 = v" \cdot m\]

5) Из данного уравнения видно, что после прыжка скорость мальчика равна нулю (\(v" = 0\)). Это означает, что скорость лодки остается неизменной после прыжка мальчика с носа. То есть, лодка продолжает двигаться с той же скоростью, что и до прыжка.

Теперь рассмотрим второй случай, когда мальчик прыгает с кормы в противоположном направлении движения лодки.

1) Аналогично предыдущему случаю, перед прыжком мальчика его импульс равен нулю, так как его скорость нулевая.

2) После прыжка импульс мальчика равен \(m_{\text{мальчика}} \cdot (-v_{\text{мальчика}})\), а импульс лодки равен \((m - m_{\text{мальчика}}) \cdot (-v_{\text{лодки}})\), где \(m_{\text{мальчика}}\) - масса мальчика, \(v_{\text{мальчика}}\) - скорость мальчика после прыжка, \(v_{\text{лодки}}\) - скорость лодки после прыжка.

3) Опять же, закон сохранения импульса нам говорит, что импульс до прыжка равен импульсу после прыжка:
\[0 = m_{\text{мальчика}} \cdot (-v_{\text{мальчика}}) + (m - m_{\text{мальчика}}) \cdot (-v_{\text{лодки}})\]

4) Как и ранее, обозначим скорость мальчика после прыжка через \(v"\), а скорость лодки после прыжка через \(v""\).

Уравнение \(0 = m_{\text{мальчика}} \cdot (-v") + (m - m_{\text{мальчика}}) \cdot (-v"")\) может быть переписано как
\[0 = -v" \cdot m_{\text{мальчика}} - v"" \cdot (m - m_{\text{мальчика}})\]
\[0 = -v" \cdot m_{\text{мальчика}} - v"" \cdot m + v"" \cdot m_{\text{мальчика}}\]

5) Здесь мы знаем, что скорость мальчика после прыжка и скорость лодки после прыжка противоположны друг другу, то есть \(v" = -v""\). Подставим это в уравнение:
\[0 = -v" \cdot m_{\text{мальчика}} + v" \cdot m - v" \cdot m_{\text{мальчика}}\]
\[0 = v" \cdot m - v" \cdot m_{\text{мальчика}} - v" \cdot m_{\text{мальчика}}\]
\[0 = v" \cdot m - 2 \cdot v" \cdot m_{\text{мальчика}}\]

6) Как и в предыдущем случае, мы не знаем скорость мальчика после прыжка, поэтому обозначим ее \(v"\). Теперь мы можем переписать уравнение \(0 = v" \cdot m - 2 \cdot v" \cdot m_{\text{мальчика}}\) как
\[0 = v" \cdot (m - 2 \cdot m_{\text{мальчика}})\]

7) Так как мальчик после прыжка оказывается на лодке, его масса \(m_{\text{мальчика}}\) равна нулю. Поэтому уравнение \(0 = v" \cdot (m - 2 \cdot m_{\text{мальчика}})\) принимает вид
\[0 = v" \cdot m\]

Таким образом, получаем, что скорость мальчика после прыжка равна нулю (\(v" = 0\)). Это означает, что скорость лодки не изменится после прыжка мальчика с кормы. Лодка продолжит двигаться с той же скоростью, что и до прыжка.

Таким образом, в обоих случаях скорость лодки не изменится после прыжка мальчика.