Яку суму перших 30 членів арифметичної прогресії (an) потрібно знайти, якщо a21=17, а різниця прогресії d=2?

Magicheskiy_Tryuk

13

Щоб знайти суму перших 30 членів арифметичної прогресії, використаємо формулу для суми n перших членів прогресії \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\), де \(S_n\) - сума n перших членів прогресії, \(a_1\) - перший член прогресії, \(d\) - різниця прогресії, \(n\) - кількість членів прогресії.

Нам дано, що \(a_{21} = 17\) і \(d = 2\). Використовуючи цю інформацію, ми можемо знайти перший член прогресії \(a_1\).

Формула для \(a_n\) (n-ого члена прогресії) в арифметичній прогресії виглядає так: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставляючи відомі значення, ми отримуємо:
\[a_{21} = a_1 + (21-1)\cdot2 = a_1 + 40\]

Ми знаємо, що \(a_{21} = 17\), тому ми можемо записати рівняння:
\[17 = a_1 + 40\]

Після розв"язання цього рівняння, отримуємо:
\[a_1 = 17 - 40 = -23\]

Тепер, знаючи значення \(a_1\) і \(d\), ми можемо обчислити суму перших 30 членів прогресії, використовуючи формулу:
\[S_{30} = \frac{30}{2}(2(-23) + (30-1)2)\]

Давайте розрахуємо це:

\[S_{30} = \frac{30}{2}(2(-23) + 29 \cdot 2)\]
\[S_{30} = 15(2(-23) + 58)\]
\[S_{30} = 15(-46 + 58)\]
\[S_{30} = 15 \cdot 12\]
\[S_{30} = 180\]

Таким чином, сума перших 30 членів арифметичної прогресії дорівнює 180.