Яку величину має косинус кута, якщо висота, проведена до бічної сторони рівнобедреного трикутника, становить третину

Aleksandr

56

Для решения данной задачи нам понадобится знание основных свойств рівнобедренного трикутника и теоремы косинусов.

По условию задачи, висота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, составляет треть от длины этой стороны.

Обозначим длину боковой стороны треугольника как \( a \). Тогда длина висоты равна \( h = \frac{a}{3} \).

Для решения задачи мы можем использовать теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной базы рівнобедренного треугольника, висотой и гипотенузой.

Длина половины базы равна \( \frac{a}{2} \). По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[ \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 = a^2 \]

Упрощая данное уравнение, получаем:

\[ \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{9} = a^2 \]

Найдем общий знаменатель и сложим дроби:

\[ \frac{9a^2 + 4a^2}{36} = \frac{13a^2}{36} = a^2 \]
\[\left(\frac{13a^2}{36}\right) \cdot \left(\frac{36}{13}\right) = a^2 \]
\[ a^2 = a^2 \]

Таким образом, у нас получилось тождественное равенство, что означает, что наше предположение было верным: заданный треугольник является прямоугольным, и высота к боковой стороне составляет треть от длины этой стороны.

Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos(\angle A)=\frac{{\textup{катет противолежащий углу}}}{{\textup{гипотенуза}}} \]

У нас вершина угла находится противолежащей катету, соответственно катет противолежащий углу равен \( \frac{a}{3} \), а гипотенуза равна \( a \).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[ \cos(\angle A) = \frac{\frac{a}{3}}{a} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, косинус угла \( \angle A \) равен \( \frac{1}{3} \).