Яку величину має кут, якщо два кола вписані таким чином, що зовнішній дотик одного до одного? Знайдіть радіус більшого

Cvetok_1111

57

Радіус меншого кола будемо позначати як \(r\), а радіус більшого кола - \(R\). В даній задачі, коли два кола вписані таким чином, що зовнішній точці одного кола доторкається до другого кола, ми можемо використовувати властивість вписаних кутів.

Величина вписаного кута між дотичною до більшого кола і сегментом між цими дотичними дорівнює половині величини централього кута, утвореного двома дотичними. Отже, величина нашого вписаного кута дорівнюватиме \( \frac{\alpha}{2} \), де \( \alpha \) - центральний кут, утворений дотичними.

Враховуючи це, маємо рівності:
\[
\frac{\alpha}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
\]

Таким чином, величина вписаного кута дорівнює \(90^\circ\).

Також за властивістю вписаних кутів маємо рівність:
\[
\alpha = 2 \cdot \arctan \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{R} \right)
\]

Підставивши значення величини вписаного кута \(90^\circ\) маємо:
\[
90 = 2 \cdot \arctan \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{R} \right)
\]

Для розв"язання цього рівняння, спочатку розділимо обидві частини рівняння на 2:
\[
45 = \arctan \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{R} \right)
\]

Потім використаємо тригонометричну функцію тангенса, щоб виразити величину \( \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{R} \):
\[
\tan(45) = \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{R}
\]

Тангенс \(45^\circ\) дорівнює 1, тому отримуємо:
\[
1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{r}{R}
\]

Щоб знайти величину радіуса \(R\), помножимо обидві частини рівняння на 2:
\[
2 = \frac{r}{R}
\]

Після цього, помножимо обидві частини на \(R\) та поділимо на 2:
\[
R = \frac{r}{2}
\]

Отже, радіус більшого кола \(R\) дорівнює половині радіуса меншого кола \(r\).