Яку відстань мають два кола з зовнішнім дотиком, якщо їх радіуси відносяться

Magnit

15

Давайте решим данную задачу про два круга с внешним касанием.

Пусть радиус первого круга будет обозначен как \(r_1\), а радиус второго круга - \(r_2\).

Мы знаем, что эти два круга имеют внешнее касание, что означает, что они касаются друг друга только одной точкой. Предположим, что эта точка касания находится на первом круге.

Сначала найдем расстояние между центрами этих двух кругов. Пусть центр первого круга имеет координаты \((x_1, y_1)\), а центр второго круга - \((x_2, y_2)\).

Используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости, получим следующее выражение:

\[
d = \sqrt{{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}}
\]

Теперь, пользуясь геометрией и свойством касания кругов, можем утверждать, что расстояние между центрами кругов равно сумме радиуса первого круга и радиуса второго круга:

\[
d = r_1 + r_2
\]

Учитывая эти два равенства, можем записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 \\
d = \sqrt{{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}} = r_1 + r_2
\end{cases}
\]

Теперь решим эту систему уравнений для нахождения расстояния между центрами кругов.

Возведем оба уравнения в квадрат:

\[
\begin{cases}
(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 \\
(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = (r_1 + r_2)^2
\end{cases}
\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[
\begin{cases}
x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 = r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 \\
x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 = r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2
\end{cases}
\]

Приведем все слагаемые к соответствующим сторонам уравнений:

\[
\begin{cases}
x_1^2 + y_1^2 - 2x_1x_2 - 2y_1y_2 + x_2^2 + y_2^2 = r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2 \\
- (x_1^2 + y_1^2 - 2x_1x_2 - 2y_1y_2 + x_2^2 + y_2^2) = - (r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2)
\end{cases}
\]

Сократим подобные слагаемые:

\[
2(x_1x_2 + y_1y_2) = 2r_1r_2
\]

Теперь выразим расстояние между центрами кругов через их координаты:

\[
\begin{cases}
d = \sqrt{{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}} = r_1 + r_2 \\
2(x_1x_2 + y_1y_2) = 2r_1r_2
\end{cases}
\]

Подставим второе уравнение в первое:

\[
\sqrt{{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}} = \frac{{(x_1x_2 + y_1y_2)}}{{r_1}}
\]

Возведем оба уравнения в квадрат:

\[
(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = \frac{{(x_1x_2 + y_1y_2)^2}}{{r_1^2}}
\]

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает координаты центров кругов \(x_1\), \(y_1\), \(x_2\), \(y_2\) с радиусами \(r_1\) и \(r_2\).

К сожалению, без конкретных численных значений радиусов и координат центров кругов невозможно дать точный ответ на задачу. Но данное уравнение позволяет решить её при известных значениях всех величин.

Возможно, вам будет проще решить задачу при конкретных численных значениях радиусов и координат центров кругов. Тогда я смогу помочь вам с пошаговым решением.