Яку відстань треба виміряти в метрах, щоб дослідник отримав дифракційне зображення першого порядку на такій відстані

Ryzhik

63

Для розв"язання цієї задачі, спочатку нам потрібно знати формулу, яку можна використовувати для дифракції на решітці. Формула дифракції на решітці має вигляд:

\[d \cdot \sin(\theta) = m \cdot \lambda\]

Де:
- \(d\) - період решітки,
- \(\theta\) - кут дифракції,
- \(m\) - порядок дифракційного максимуму,
- \(\lambda\) - довжина хвилі світла.

Ми маємо дані:
\(\lambda = 0,486 \, \text{мкм} = 0,486 \times 10^{-6} \, \text{м}\),
\(m = 1\) (перший порядок дифракційного максимуму).

Ми хочемо знати період решітки \(d\) для отримання дифракційного зображення першого порядку на певній відстані від центрального максимуму. Щоб це зробити, ми можемо перетворити формулу дифракції на решітці, щоб вирішити її відносно \(d\):

\[d = \frac{m \cdot \lambda}{\sin(\theta)}\]

Оскільки ми не маємо значення кута дифракції \(\theta\), нам також потрібно використовувати іще одну формулу для обчислення кута дифракції. Для першого порядку дифракційного максимуму кут дифракції можна апроксимувати, використовуючи малий кут наближення:

\[\sin(\theta) \approx \theta\]

Тому ми можемо переписати формулу для періоду решітки \(d\):

\[d = \frac{m \cdot \lambda}{\theta}\]

Тепер нам потрібно знайти відстань від центрального максимуму, на якій отримується дифракційне зображення першого порядку. Цю відстань позначимо як \(x\), і ми хочемо знати її значення в метрах.

Щоб це зробити, ми можемо використовувати трикутникову геометрію, де радіус \(r\) дифракційного зображення першого порядку від центрального максимуму на решітці буде дорівнювати \(x\), і кут \(\theta\) і протилежна сторона \(d\) будуть утворювати прямокутний трикутник:

\[\tan(\theta) = \frac{d}{x}\]

Розв"язавши це відносно \(x\), ми отримаємо:

\[x = \frac{d}{\tan(\theta)}\]

Тепер ми можемо обчислити період решітки \(d\) і відстань \(x\) з застосуванням цих формул.

Запишемо явно формулу для періоду решітки \(d\):

\[d = \frac{m \cdot \lambda}{\theta}\]

Запишемо явно формулу для відстані \(x\):

\[x = \frac{d}{\tan(\theta)}\]

Тепер можемо підставити формулу для періоду решітки \(d\) у формулу для відстані \(x\):

\[x = \frac{\frac{m \cdot \lambda}{\theta}}{\tan(\theta)}\]

Спростимо це вираз:

\[x = \frac{m \cdot \lambda}{\tan(\theta)}\]

Тепер ми можемо підставити значення \(m = 1\), \(\lambda = 0,486 \times 10^{-6} \, \text{м}\) і використати тригонометричну функцію тангенса, щоб обчислити відстань \(x\):

\[x = \frac{1 \cdot 0,486 \times 10^{-6} \, \text{м}}{\tan(\theta)}\]

Ця формула дає нам відстань \(x\) в метрах, необхідну для отримання дифракційного зображення першого порядку на решітці.