Яку висоту має правильна трикутна піраміда, якщо її апофема утворює кут α з площиною основи? Які значення

Feya

38

Щоб визначити висоту \(h\) правильної трикутної піраміди з апофемою \(a\), утворюємо кут \(\alpha\) з площиною основи, спочатку скористаємося властивостями правильних трикутників.

Правильний трикутник - це трикутник, у якого всі сторони мають однакову довжину, а всі кути рівні. Оскільки піраміда має правильний трикутник як основу, кожен його кут буде дорівнювати \(60^\circ\). Для спрощення обчислень, розглянемо правильний трикутник на площині, де його основа лежить на горизонтальній лінії, а опорний пункт має координати \((0, 0)\).

Уявіть собі вершину правильного трикутника, розташовану в центрі, тоді його основа буде лежати на відрізку між точками \((-a, 0)\) та \((a, 0)\), де \(a\) - довжина сторони трикутника. З"єднаємо вершину з серединою основи - ця лінія є висотою \(h\) піраміди.

На рисунку зображено побудову правильного трикутника та його піраміди:

\[додать картинку\]

Оскільки правильний трикутник - рівнобедрений, то піраміда розділяєся на два прямокутних трикутники. Використовуючи тригонометрію, можемо записати наступну рівність:

\[\tan(\alpha) = \frac{h}{a} \Rightarrow h = a \cdot \tan(\alpha)\]

Тепер ми можемо обчислити значення висоти \(h\) залежно від заданого кута \(\alpha\) та довжини апофеми \(a\).

Щодо об"єму піраміди, для правильної трикутної піраміди з основою, що має площу \(A\), та висотою \(h\), об"єм \(V\) обчислюється за наступною формулою:

\[V = \frac{1}{3} A \cdot h\]

Тому, якщо ми знаємо площу основи \(A\) та висоту \(h\), ми можемо обчислити об"єм піраміди \(V\) з допомогою формули, наведеної вище.

Для більш детального розуміння, ми можемо побачити ці формули на конкретних прикладах. Наприклад, якщо \(a = 8\) і \(\alpha = 45^\circ\), використовуйте вищезгадання формули, щоб знайти висоту,\(h\):

\[h = 8 \cdot \tan(45^\circ)\]

обчислюючи \(\tan(45^\circ)\) за допомогою калькулятора, отримуємо:

\[h = 8 \cdot 1 = 8\]

Таким чином, висота піраміди \(h\) дорівнює 8 виходячи з даного прикладу. Тоді якщо площа основи \(A = 16\), застосовуючи формулу для об"єму піраміди, \(V\):

\[V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 8 = \frac{128}{3}\]

Отже, об"єм піраміди \(V\) становить \(\frac{128}{3}\) виходячи з цього прикладу.

Сподіваюсь, що цей детальний розбір допоміг вам зрозуміти, яку висоту має правильна трикутна піраміда з апофемою, що утворює кут \(\alpha\) з площиною основи, а також як обчислити об"єм піраміди. Тепер ви готові застосовувати ці знання у своїх математичних розрахунках та задачах. Успіхів у навчанні!