Яку властивість має відстань від центра кола O до хорди AB в порівнянні з самою хордою AB? Завдання полягає в тому

Никита

33

Для розв"язання даної задачі, ми можемо скористатися теоремою про серединний перпендикуляр. Ця теорема стверджує, що серединний перпендикуляр до хорди кола проходить через центр кола.

Зрозуміло, що серединний перпендикуляр хоча би однієї хорди кола перетинає її посередині. Отже, якщо ми проведемо серединний перпендикуляр AB (позначимо точку перетину на хорді як T), то він буде проходити через центр кола O.

Далі, нам потрібно знайти відстань від центра кола O до хорди AB. Оскільки перпендикуляр TQ (де Q - це середина хорди AB) проходить через центр кола, а перпендикуляр розташований у серединному перпендикулярі, то TQ і OB будуть паралельні.

Враховуючи це, відстань від центра кола O до хорди AB буде дорівнювати відстані від точки T до хорди AB, або ж відстані від середини хорди до хорди.

Отже, для знаходження цієї відстані, нам потрібно знайти відстань від середини хорди до хорди. Ця відстань може бути розрахована за допомогою формули для висоти прямокутного трикутника.

Оскільки хорда AB є основою прямокутного трикутника, а TM (де M - середина хорди AB) є висотою, ми можемо використовувати формулу для висоти прямокутного трикутника:

\[h = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

де \(h\) - висота, \(p\) - півпериметр, \(a\), \(b\), \(c\) - сторони прямокутного трикутника.

У нашому випадку, \(a\), \(b\) будуть довжини відрізків AM і MB, а \(c\) - довжина хорди AB. Таким чином, формула матиме вигляд:

\[h = \sqrt{p \cdot (p - AM) \cdot (p - MB) \cdot (p - AB)}\]

Згідно з теоремою секанс-хорда, AM = MB = \(\frac{AB}{2}\), а \(p\) = \(\frac{AB + AB + AB}{2}\) = \(2AB\).

Замінюючи ці значення в формулі, ми отримаємо:

\[h = \sqrt{2AB \cdot (2AB - \frac{AB}{2}) \cdot (2AB - \frac{AB}{2}) \cdot (2AB - AB)}\]

Спрощуючи це рівняння, ми отримаємо:

\[h = \sqrt{AB^2 \cdot (AB - \frac{AB}{2}) \cdot (AB - \frac{AB}{2}) \cdot AB}\]

\[h = \sqrt{AB^2 \cdot (\frac{AB}{2})^2 \cdot AB}\]

\[h = \sqrt{\frac{AB^2 \cdot AB^2 \cdot AB}{4}}\]

\[h = \sqrt{\frac{AB^5}{4}}\]

Отже, відстань від центра кола O до хорди AB буде дорівнювати \(\sqrt{\frac{AB^5}{4}}\).