Являются ли векторы aa1, fe и ac плоскими?

Летучая_Мышь

48

Чтобы определить, являются ли векторы \(a\cdot a_1\), \(f\cdot e\) и \(a\cdot c\) плоскими, нам нужно узнать их линейную независимость. Если векторы являются линейно независимыми, то они не будут лежать в одной плоскости. Если же они линейно зависимы, то скорее всего они будут лежать на одной плоскости.

Для начала, вычислим векторное произведение \(a\cdot a_1\) и \(f\cdot e\). Векторное произведение двух векторов даёт нам третий вектор, перпендикулярный плоскости, образованной первыми двумя векторами. Если векторное произведение равно нулю, значит, векторы \(a\cdot a_1\) и \(f\cdot e\) лежат в одной плоскости.

\[
(a\cdot a_1) \times (f\cdot e) =
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
a_1 & a & 0 \\
e & f & 0 \\
\end{vmatrix}
= (0 - 0)i - (0 - 0)j + (a\cdot f - a_1\cdot e)k
\]

Очевидно, что проекции на \(i\)- и \(j\)-оси равны нулю. Тогда вектор \(a\cdot a_1 \times f\cdot e\) будет иметь только одну ненулевую координату вдоль \(k\)-оси: \(a\cdot f - a_1\cdot e\).

Теперь вычислим векторное произведение \(a\cdot a_1\) и \(a\cdot c\):

\[
(a\cdot a_1) \times (a\cdot c) =
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
a_1 & a & 0 \\
c & a & 0 \\
\end{vmatrix}
= (0 - 0)i - (0 - 0)j + (a\cdot a - a_1\cdot c)k
\]

Также проекции на \(i\)- и \(j\)-оси равны нулю. Вектор \(a\cdot a_1 \times a\cdot c\) будет иметь только одну ненулевую координату вдоль \(k\)-оси: \(a\cdot a - a_1\cdot c\).

Итак, давайте проанализируем полученные результаты:

1. Если \(a\cdot f - a_1\cdot e\) и \(a\cdot a - a_1\cdot c\) равны нулю, это означает, что оба вектора \(a\cdot a_1\) и \(a\cdot c\) лежат на одной плоскости с вектором \(f\cdot e\) и значит, являются плоскими.

2. Если либо \(a\cdot f - a_1\cdot e\), либо \(a\cdot a - a_1\cdot c\) не равны нулю, это означает, что все три вектора \(a\cdot a_1\), \(f\cdot e\) и \(a\cdot c\) не лежат на одной плоскости и, следовательно, не являются плоскими.

Теперь, пожалуйста, предоставьте значения компонентов векторов \(a\cdot a_1\), \(f\cdot e\) и \(a\cdot c\), чтобы я мог выполнить необходимые вычисления и дать окончательный ответ.