За какое время мяч, падая с высоты h = 2 м на горизонтальную поверхность, полностью остановится, сохраняя η = 81% своей

Якорица

27

Чтобы решить эту задачу, нам нужно применить закон сохранения механической энергии. Закон гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной в отсутствие внешних сил, таких как сопротивление воздуха, трение и др.

Пусть \(E_1\) - начальная энергия мяча, а \(E_2\) - энергия мяча после первого удара о горизонтальную поверхность. Так как мяч теряет 19% своей энергии после каждого удара, то \(E_2 = 81\% \times E_1 = 0.81 \times E_1\).

Также будем считать, что энергия мяча после каждого удара состоит только из его потенциальной энергии, так как он полностью останавливается на каждом ударе. Пусть \(m\) - масса мяча, \(g\) - ускорение свободного падения.

Тогда начальная потенциальная энергия мяча равна \(E_1 = mgh\), где \(h = 2 \, \text{м}\) - высота, с которой мяч падает.

После первого удара о горизонтальную поверхность, энергия мяча составит \(E_2 = mgh_2\), где \(h_2\) - высота, на которую мяч подпрыгнул после удара. Так как мяч сохраняет 81% своей энергии после каждого удара, то \(E_2 = 0.81 \times E_1 = 0.81 \times mgh\).

Найдем значение \(h_2\):

\[0.81 \times mgh = mgh_2\]

Делим обе части уравнения на \(mg\):

\[0.81 \times h = h_2\]

Таким образом, после первого удара о горизонтальную поверхность, мяч подпрыгнет на высоту \(h_2 = 0.81 \times 2 \, \text{м} = 1.62 \, \text{м}\).

На каждом последующем ударе мяч будет подпрыгивать на 81% предыдущей высоты. То есть, после второго удара мяч подпрыгнет на \(0.81 \times 1.62 \, \text{м}\), после третьего удара - \(0.81 \times (0.81 \times 1.62) \, \text{м}\), и так далее.

Мы можем построить последовательность всех высот подпрыгивания мяча:

\[h, 0.81h, (0.81)^2h, (0.81)^3h, \ldots\]

Продолжая образование этой последовательности, мы можем заметить, что каждый следующий член последовательности получается путем умножения предыдущего члена на 0.81.

Теперь мы хотим найти, за какое время мяч полностью остановится, сохраняя 81% своей энергии после каждого удара. Мы можем заметить, что на каждом ударе энергия мяча уменьшается на 19%, сохраняя 81% от предыдущей энергии. Таким образом, мы постоянно имеем соотношение \(0.81\) между энергиями мяча после каждого удара.

Общая энергия мяча после очередного удара можно записать как \(E_n = (0.81)^{n-1} \times mgh\), где \(n\) - номер удара (нумерация начинается с 1).

Мы хотим найти такой номер последнего удара \(n\), при котором мяч полностью остановится, то есть его энергия станет очень малой (практически равной нулю).

Давайте найдем \(n\) с помощью логарифма:

\[(0.81)^{n-1} \times E_1 = 0.0001 \times E_1\]

Делим обе части уравнения на \(E_1\):

\[(0.81)^{n-1} = 0.0001\]

Применяя логарифм по основанию 0.81 к обеим частям уравнения, получим:

\[\log_{0.81} ((0.81)^{n-1}) = \log_{0.81} (0.0001)\]

Так как \(\log_{a}(a^x) = x\), то:

\[n - 1 = \log_{0.81} (0.0001)\]

Теперь найдем \(\log_{0.81} (0.0001)\) с помощью логарифмического калькулятора:

\(\log_{0.81} (0.0001) \approx 10.2\)

Теперь найдем значение \(n\):

\[n = 10.2 + 1 = 11.2\]

Так как \(n\) - номер удара, который должен быть целым числом, округлим \(11.2\) до ближайшего целого числа и получим, что мяч полностью остановится после \(11\) ударов.

Теперь у нас есть все необходимые данные для ответа на задачу: мяч полностью остановится через \(11\) ударов.