За какое время проволокой пройдет ток, чтобы она начала плавиться, если диаметр проволоки составляет d = 0.2 мм, идет

Пингвин

38

Для решения данной задачи воспользуемся законом Джоуля-Ленца, который гласит, что количество теплоты, выделяемой в проводнике сопротивлением R при прохождении через него тока I в течение времени t, определяется формулой:

\[ Q = I^2 \cdot R \cdot t \]

В нашем случае, заданы диаметр проволоки d = 0.2 мм, ток I = 0.5·cos(100πt) А и удельное сопротивление проволоки R = 0.22 мкОм·м. Найдем сначала сопротивление проволоки.

Формула для сопротивления проводника:

\[ R = \rho \cdot \frac{L}{S} \]

где \(\rho\) - удельное сопротивление материала проводника, L - длина проводника, S - площадь поперечного сечения проводника.

Площадь поперечного сечения проволоки можно выразить через ее диаметр:

\[ S = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \]

У нас есть диаметр проволоки d = 0.2 мм, поэтому:

\[ S = \frac{\pi \cdot (0.2 \cdot 10^{-3})^2}{4} \]

Вычисляем площадь сечения проволоки:

\[ S = 3.14 \cdot (0.2 \cdot 10^{-3})^2 / 4 \]

Теперь можем вычислить сопротивление проволоки:

\[ R = 0.22 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{L}{3.14 \cdot (0.2 \cdot 10^{-3})^2 / 4} \]

Заданный диаметр проволоки нам не дает информации о ее длине, поэтому длину проволоки будем обозначать как L.

Для определения длины проволоки нам понадобятся другие данные. Задана плотность проволоки \(\rho\) = 11.3 г/см\(^3\). Плотность можно выразить через массу и объем:

\[ \rho = \frac{m}{V} \]

где m - масса, V - объем.

Массу проволоки можем выразить через ее плотность и объем:

\[ m = \rho \cdot V \]

По определению плотности:

\[ m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot L \]

Заданный диаметр проволоки сопровождается информацией о ее длине, иначе диаметр был бы безусловной характеристикой проволоки. Поэтому, нам даны значения диаметра проволоки d = 0.2 мм и массы проволоки m = 1 кг. Сделаем замену массы:

\[ m = \rho \cdot S \cdot L = 11.3 \cdot 0.2 \cdot 10^{-3} \cdot L \]

Итак, у нас два уравнения:

\[ R = 0.22 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{L}{3.14 \cdot (0.2 \cdot 10^{-3})^2 / 4} \]
\[ m = 11.3 \cdot 0.2 \cdot 10^{-3} \cdot L \]

Решим последнее уравнение относительно L:

\[ L = \frac{m}{11.3 \cdot 0.2 \cdot 10^{-3}} \]

Теперь у нас есть значение L, и мы можем подставить его в первое уравнение для определения сопротивления R:

\[ R = 0.22 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{L}{3.14 \cdot (0.2 \cdot 10^{-3})^2 / 4} \]

Теперь, когда у нас есть значение сопротивления R, можем приступить к определению времени t, за которое проволока начнет плавиться. Для этого воспользуемся формулой Джоуля-Ленца:

\[ Q = I^2 \cdot R \cdot t \]

В нашем случае I = 0.5·cos(100πt) А, R - найденное значение сопротивления, и Q - теплота, необходимая для плавления проволоки.

Поскольку мы хотим найти время, за которое проволока начнет плавиться, задача сводится к определению t.

Определяем переменную в формуле Q:

\[ Q = (0.5 \cdot cos(100\pi t))^2 \cdot R \cdot t \]

У нас есть начальная температура проволоки 0 °C и температура плавления - t = 327 °C. Нам дана удельная теплоемкость свинца 126 Дж/(кг·к), поэтому мы можем определить количество теплоты, необходимое для плавления проволоки:

\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \]

где \(\Delta T\) - разница температур, c - удельная теплоемкость.

Масса проволоки m мы уже определили равной 1 кг, поэтому:

\[ Q = 1 \cdot 126 \cdot (327 - 0) \]

Имея значение Q, мы можем записать формулу в виде:

\[ (0.5 \cdot cos(100\pi t))^2 \cdot R \cdot t = 126 \cdot 327 \]

Для определения времени t потребуется использовать численные методы и численное решение.

Итак, для определения времени, за которое проволока начнет плавиться, потребуется решить следующую систему уравнений:

\[ R = 0.22 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{L}{3.14 \cdot (0.2 \cdot 10^{-3})^2 / 4} \]
\[ L = \frac{m}{11.3 \cdot 0.2 \cdot 10^{-3}} \]
\[ (0.5 \cdot cos(100\pi t))^2 \cdot R \cdot t = 126 \cdot 327 \]

Решение данной системы уравнений будет давать ответ на задачу. Ответ на вопрос "За какое время проволокой пройдет ток, чтобы она начала плавиться?" будет получен после решения системы. Ответ следует выразить в соответствующих единицах измерения, учитывая, что время t будет выражено в секундах.