За який період часу зможе кожний з робітників виконати дане завдання самостійно, якщо два робітники, працюючи разом

Марат

19

Давайте розберемо цю задачу крок за кроком.

Нехай час, за який другий робітник виконує завдання самостійно, буде позначений як \(x\) годин. Тоді перший робітник, як зазначено в умові, потребує на це на 10 годин більше, тобто \(x + 10\) годин.

Дано, що два робітники, працюючи разом, виконують завдання за 12 годин. Це означає, що за одну годину вони виконують \(\frac{1}{12}\) частину завдання.

Тепер давайте знайдемо, яку частину завдання виконує кожний робітник за одну годину. Другий робітник виконує завдання за \(x\) годин, тому він робить \(\frac{1}{x}\) частини завдання за одну годину. Перший робітник виконує завдання за \(x + 10\) годин, тому він робить \(\frac{1}{x + 10}\) частини завдання за одну годину.

Згідно з умовою, коли працюють разом, двоє робітників виконують завдання за 12 годин, тобто за одну годину вони виконують \(\frac{1}{12}\) частини завдання. Це дає нам нерівність:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12}\]

Тепер ми можемо розв"язати цю нерівність, щоб знайти значення \(x\), яке відповідає часу, за який другий робітник виконає завдання самостійно.

Для початку, давайте позбавимося знаменників, помноживши обидві частини рівняння на \(12x(x + 10)\). Після спрощення отримаємо:

\[12(x + 10) + 12x = x(x + 10)\]

\[12x + 120 + 12x = x^2 + 10x\]

\[24x + 120 = x^2 + 10x\]

Тепер давайте перенесемо всі члени в одну сторону рівняння і отримаємо квадратне рівняння:

\[x^2 - 4x - 120 = 0\]

Тепер ми можемо розв"язати це квадратне рівняння. Для цього ми можемо скористатися факторизацією, застосувати квадратну формулу або скористатися методом дискримінанта. Давайте скористаємося методом дискримінанта.

Дискримінант \(D\) квадратного рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) обчислюється за формулою \(D = b^2 - 4ac\). В нашому випадку \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -120\), тому:

\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)\]
\[D = 16 + 480\]
\[D = 496\]

Оскільки дискримінант \(D\) більше нуля, ми маємо два кореня для цього рівняння. Ми можемо використати формулу коренів квадратного рівняння, щоб знайти значення \(x\):

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{4 \pm \sqrt{496}}{2}\]

Тоді ми маємо два кореня:

\[x_1 = \frac{4 + \sqrt{496}}{2}\]
\[x_2 = \frac{4 - \sqrt{496}}{2}\]

Спрощуючи, ми отримуємо:

\[x_1 = 10 + 4\sqrt{31}\]
\[x_2 = 10 - 4\sqrt{31}\]

Отже, другий робітник виконає завдання самостійно протягом \(10 + 4\sqrt{31}\) годин або \(10 - 4\sqrt{31}\) годин, залежно від того, яке значення він отримає для \(x\).

Я сподіваюся, що це пояснення зрозумне для вас. Будь ласка, дайте знати, якщо ви маєте ще які-небудь питання.