За якого значення k, дискримінант рівняння x2 + kx + k + 2 = 0 буде дорівнювати

Игоревич

11

Для рівняння \(x^2 + kx + k + 2 = 0\) ми можемо знайти значення \(k\), при якому дискримінант рівняння буде дорівнювати нулю. Дискримінант рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) обчислюється за формулою:

\[D = b^2 - 4ac\]

У нашому випадку, \(a = 1\), \(b = k\), і \(c = k + 2\). Заміняючи ці значення в формулу дискримінанту, отримуємо:

\[D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k + 2)\]
\[D = k^2 - 4k - 8\]

Тепер ми хочемо знайти значення \(k\), при якому дискримінант дорівнюватиме нулю, тобто \(D = 0\). Підставимо \(D\) у рівняння:

\[0 = k^2 - 4k - 8\]

Для розв"язання цього квадратного рівняння ми можемо скористатися квадратною формулою. За допомогою неї, можна обчислити корені рівняння:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

У нашому випадку, \(a = 1\), \(b = -4\), і \(D = 0\). Підставимо ці значення в формулу:

\[k = \frac{{-(-4) \pm \sqrt{0}}}{{2 \cdot 1}}\]
\[k = \frac{{4 \pm 0}}{{2}}\]

Отримуємо два рівняння:

\[k_1 = \frac{{4 + 0}}{{2}} = \frac{{4}}{{2}} = 2\]

\[k_2 = \frac{{4 - 0}}{{2}} = \frac{{4}}{{2}} = 2\]

Отже, для рівняння \(x^2 + kx + k + 2 = 0\) дискримінант буде дорівнювати нулю, якщо \(k = 2\).