Задача 1. Какую постоянную скорость должен иметь автомобиль при проезде второго круга, чтобы его скорость была

Nikolaevich

65

Задача 1. Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать следующие физические понятия: путевая скорость и время.

Путевая скорость \(v_п\) вычисляется по формуле:

\[v_п = \frac{S}{t_п}\]

где \(S\) - расстояние, пройденное автомобилем, а \(t_п\) - время, за которое автомобиль проходит это расстояние.

Средняя путевая скорость за два круга вычисляется по формуле:

\[v_c = \frac{2S}{t_1 + t_2}\]

где \(t_1\) и \(t_2\) - времена прохождения автомобилем первого и второго кругов соответственно.

Из условия задачи известно, что скорость автомобиля во втором круге в два раза больше средней путевой скорости за два круга:

\[v_2 = 2v_c\]

Мы хотим найти требуемую скорость автомобиля во втором круге, так что теперь мы можем записать уравнение:

\[v_2 = 2 \cdot \frac{2S}{t_1 + t_2}\]

Теперь нам нужно выразить время \(t_2\) через другие известные величины. Заметим, что время \(t_1\) - это время прохождения первого круга автомобилем со скоростью \(v_2\), так что:

\(t_1 = \frac{2 \pi R}{v_2}\),

где \(R\) - радиус круга.

Подставляя это выражение обратно в уравнение для \(v_2\), получаем:

\(v_2 = 2 \cdot \frac{2S}{\frac{2 \pi R}{v_2} + t_2}\).

Домножая обе стороны уравнения на \(\frac{2 \pi R}{v_2}\), получаем:

\(v_2^2 = \frac{8S \cdot v_2}{2 \pi R} + t_2 \cdot \frac{2 \pi R}{v_2}\).

Теперь мы можем найти \(t_2\):

\(t_2 = \frac{v_2^2 \cdot v_2}{\frac{8S}{2 \pi R}}\).

Теперь мы можем выразить требуемую скорость автомобиля во втором круге:

\(v_2 = \sqrt{\frac{8S \cdot v_2}{2 \pi R \cdot t_2}}\).

Очевидно, мы попали в зацикливание, так как искомая скорость \(v_2\) является неизвестной величиной и встречается на обоих сторонах уравнения. Это значит, что такой скорости не существует, и задача не имеет решения.

Задача 2. Для решения этой задачи мы также будем использовать физические понятия: расстояние, скорость и время.

Пусть \(d\) - изначальное расстояние между автомобилем и бегуном. Пусть \(t_a\) - время, за которое автомобиль догонит бегуна, и \(t_o\) - время, за которое автомобиль обгонит бегуна.

Расстояние, которое автомобиль проедет за время \(t_a\), можно записать как \(d + t_a \cdot v_a\), где \(v_a\) - скорость автомобиля.

Расстояние, которое бегун пробежит за время \(t_o\), равно \(t_o \cdot v_o\), где \(v_o\) - скорость бегуна.

Если автомобиль догонит бегуна, то расстояние, которое автомобиль проедет за это время, будет равно расстоянию, которое бегун пробежит. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\(d + t_a \cdot v_a = t_o \cdot v_o\).

Мы также знаем, что в тот момент, когда автомобиль догоняет бегуна, расстояние, которое бегун пробежит до этого момента, равно расстоянию, которое автомобиль проедет за время обгона. Это даёт нам еще одно уравнение:

\(t_o \cdot v_o = d + t_o \cdot v_a\).

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно \(t_a\) и \(t_o\). Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

\(d + t_a \cdot v_a = (d + t_o \cdot v_a) \cdot \frac{v_o}{v_a}\).

Упрощая и перегруппировывая уравнение, получаем:

\(t_a - t_o \cdot \frac{v_o}{v_a} = \frac{d \cdot (v_o - v_a)}{v_a}\).

Теперь выражаем время \(t_o\) через \(t_a\):

\(t_o = \frac{t_a \cdot v_a}{v_o - v_a}\).

Таким образом, время, за которое автомобиль догонит и обгонит бегуна, равно \(\frac{t_a \cdot v_a}{v_o - v_a}\).