Задача 14.3. На рисунке 14,9 показана схема башенного крана. Необходимо определить, какого размера должно быть плечо

Sokol_4638

19

Для решения данной задачи мы воспользуемся условием равновесия крана. Условие равновесия гласит, что сумма моментов сил, действующих на кран, должна быть равна нулю.

Давайте обозначим необходимые нам величины:
- Масса груза, который нужно поднять: \( m_1 = 5 \, \text{т} \)
- Масса стрелы крана: \( m_2 = 3 \, \text{т} \)
- Масса противовеса груза: \( m_3 \) (неизвестная)
- Плечо (расстояние от точки опоры) для груза: \( r_1 = 15 \, \text{м} \)
- Плечо (расстояние от точки опоры) для стрелы крана: \( r_2 = 5 \, \text{м} \)
- Плечо (расстояние от точки опоры) для противовеса груза: \( r_3 \) (неизвестное)
- Сила тяжести груза: \( F_1 = m_1 \cdot g \), где \( g \) - ускорение свободного падения (\( 9.8 \, \text{м/с}^2 \))
- Сила тяжести стрелы крана: \( F_2 = m_2 \cdot g \)
- Сила тяжести противовеса груза: \( F_3 = m_3 \cdot g \)

Так как груз, стрела и противовес находятся в состоянии равновесия, то сумма моментов сил должна быть равна нулю:

\[ m_1 \cdot g \cdot r_1 + m_2 \cdot g \cdot r_2 + m_3 \cdot g \cdot r_3 = 0 \]

Подставляем известные значения:

\[ 5 \cdot 10^3 \cdot 9.8 \cdot 15 + 3 \cdot 10^3 \cdot 9.8 \cdot 5 + m_3 \cdot 9.8 \cdot r_3 = 0 \]

\[ 73.5 \cdot 10^3 + 14.7 \cdot 10^3 + 9.8 \cdot m_3 \cdot r_3 = 0 \]

\[ 88.2 \cdot 10^3 + 9.8 \cdot m_3 \cdot r_3 = 0 \]

\[ 9.8 \cdot m_3 \cdot r_3 = -88.2 \cdot 10^3 \]

Отсюда, мы можем найти величину плеча противовеса груза:

\[ r_3 = \frac{{-88.2 \cdot 10^3}}{{9.8 \cdot m_3}} \]

Таким образом, чтобы обеспечить равновесие крана, плечо противовеса груза должно быть равным:

\[ r_3 = \frac{{-88.2 \cdot 10^3}}{{9.8 \cdot 10^3}} = -9 \, \text{м} \]

Поскольку плечо не может быть отрицательным, найденное значение плеча противовеса груза должно быть положительным и равным 9 метрам. Ответ: размер плеча противовеса груза должен быть 9 метров.