Задача 14. Сколько натуральных делителей имеет число 15 в 9-й степени, при условии, что каждый из этих делителей

Moroz

68

Задача 14. Чтобы решить эту задачу, давайте вначале разложим число 15 в 9-й степени на простые множители. Число 15 представимо как \(3 \times 5\).

Для каждой степени разложимого числа мы должны рассмотреть все возможные комбинации степеней для каждого простого множителя. В данном случае, у нас есть только один простой множитель, а значит, мы можем создать только одну комбинацию степеней: \(3^9 \times 5^9\).

Чтобы найти количество делителей числа 15 в 9-й степени, необходимо учесть все возможные комбинации, включая делители, являющиеся точными квадратами, точными кубами или и тем и другим одновременно.

Поскольку мы рассматриваем только делители, являющиеся точными квадратами, точными кубами или и тем и другим одновременно, нужно учесть комбинации степеней числа 3 и 5, которые делятся на 2, 3 или 6 одновременно.

Из комбинации степеней числа 3 (9, 6, 3, 0) только степень 6 является квадратом и кубом одновременно. Аналогично, из комбинации степеней числа 5 (9, 6, 3, 0) степени 6 является квадратом и кубом одновременно.

Следовательно, количество натуральных делителей числа 15 в 9-й степени, являющихся точными квадратами, точными кубами или и тем и другим одновременно, равно 1.

Задача 15. Чтобы придумать и нарисовать клетчатую фигуру, у которой периметр составляет 7/6 от площади, нужно следовать определенным шагам.

1. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон. Площадь прямоугольника можно представить как произведение длины и ширины. Поэтому, чтобы периметр был 7/6 от площади, мы можем записать уравнение: Периметр = \(\frac{7}{6}\) Площадь.

2. Предположим, что длина прямоугольника равна \(x\) клеткам, а ширина равна \(y\) клеткам.

3. Теперь у нас есть два уравнения:

Уравнение 1: Периметр = 2x + 2y
Уравнение 2: Площадь = xy

4. Подставим значения в уравнение Периметр = \(\frac{7}{6}\) Площадь:

\(2x + 2y = \frac{7}{6}xy\)

5. Упростим это уравнение:

\(12x + 12y = 7xy\)

6. Мы можем преобразовать это уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую. Например, выразим \(y\) через \(x\):

\(12y = 7xy - 12x\)
\(y = \frac{7xy - 12x}{12}\)

7. Теперь мы можем подставить различные значения \(x\) и найти соответствующие значения \(y\).

Например, если мы возьмем \(x = 1\), то получим:

\(y = \frac{7 \cdot 1 \cdot 1 - 12 \cdot 1}{12} = \frac{-5}{12}\)

Однако, поскольку длина и ширина клетки не могут быть отрицательными, эта комбинация значений не подходит.

Повторяя этот процесс с различными значениями \(x\), мы можем найти клетчатую фигуру, которая удовлетворяет условиям задачи.