Задача 19 На доске написаны некоторые натуральные числа, состоящие только из цифр 1 и 6. а) Возможно ли, чтобы сумма

Даша

48

а) Для того чтобы сумма чисел на доске была равна 173, нужно найти комбинацию чисел из цифр 1 и 6, которая даст такую сумму. Посмотрим, возможно ли это.

Максимальное число, которое можно составить из одних единиц - это число, в котором все цифры равны 1. Найдем такое число:

111...1 (173 единицы)

Теперь рассмотрим другие комбинации чисел, где к цифрам 1 добавятся цифры 6. Если мы за каждую добавленную шестерку отнимем единицу, то сумма чисел на доске уменьшится на 5 за каждое такое число.

Но мы должны получить сумму 173, а это число остатков от деления на 5, равное 3. Это означает, что мы не можем составить сумму 173 с помощью комбинации чисел из цифр 1 и 6. Ответ на задачу "а" - невозможно составить сумму чисел, равную 173.

б) Рассмотрим аналогичную ситуацию для суммы 109. Максимальное число из одних единиц - это число, в котором все цифры равны 1:

111... (109 единиц)

Аналогично случаю "а", каждая добавленная шестерка будет уменьшать сумму на 5. Сумма остатков от деления на 5 для 109 также равна 4.

Как мы видим, невозможно составить сумму 109 с помощью комбинации чисел из цифр 1 и 6. Ответ на задачу "б" - невозможно составить сумму чисел, равную 109.

в) Для нахождения наименьшего количества чисел на доске при сумме 1021, мы можем сначала попробовать использовать максимальное количество шестерок, потом максимальное количество единиц, и так далее.

Максимальное число, состоящее только из шестерок и не превышающее 1021, это число, в котором все цифры равны 6:

666... (170 шестерок)

Оставшуюся сумму нужно дополнить числами из единиц. Минимальное количество единиц, которое равно остатку от деления суммы на 5, равно 1:

1

Таким образом, для суммы 1021 наименьшее количество чисел на доске составит 171, из которых 170 будут шестерки и 1 будет единица.

Примеры решений:
- 666...61 (170 шестерок и 1 единица)