Задача 8 Какое максимальное значение объема цилиндра, который вписан в конус с высотой 15 и радиусом основания

Snezhka

59

Задача 8. Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема цилиндра, который вписан в конус. Объем такого цилиндра можно выразить через радиусы конуса \(r\) и цилиндра \(R\) и высоту цилиндра \(h\):

\[V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)\]

Мы знаем, что высота конуса равна 15, а радиус основания конуса равен 3. Таким образом, \(h = 15\) и \(R = 3\).

Нам нужно найти максимальное значение объема, поэтому нам нужно найти максимальное значение \(V\), при заданных условиях \(h = 15\) и \(R = 3\).

Заменяя известные значения в формуле объема, получим:

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 15 (3^2 + 3r + r^2)\]

Упрощаем выражение:

\[V = 5\pi(9 + 3r + r^2)\]

Теперь у нас есть функция объема цилиндра \(V(r) = 5\pi(9 + 3r + r^2)\). Нам нужно найти максимальное значение этой функции.

Для этого мы можем найти производную функции \(V(r)\) и приравнять ее к нулю:

\[\frac{dV}{dr} = 0\]

Находим производную \(V(r)\):

\[\frac{dV}{dr} = 5\pi(3 + 2r)\]

Теперь приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

\[5\pi(3 + 2r) = 0\]

Разделим обе части уравнения на \(5\pi\):

\[3 + 2r = 0\]

Вычитаем 3 из обеих частей:

\[2r = -3\]

Делим обе части уравнения на 2:

\[r = -\frac{3}{2}\]

Мы получили значение \(r = -\frac{3}{2}\), однако радиус не может быть отрицательным, поэтому это решение не подходит.

Таким образом, мы не получили решение уравнения \(\frac{dV}{dr} = 0\). Это означает, что функция \(V(r)\) не имеет локальных экстремумов и возрастает на всем интервале значений \(r\).

Таким образом, максимальное значение объема достигается при \(r\) равном граничному значению, то есть на конце интервала. В данном случае это означает, что максимальное значение объема достигается, когда цилиндр вписан в конус полностью и его основание касается основания конуса. Это происходит при \(r = 0\).

Подставляя \(r = 0\) в формулу объема, получаем:

\[V = 5\pi(9 + 3 \cdot 0 + 0^2) = 5\pi \cdot 9 = 45\pi\]

Таким образом, максимальное значение объема цилиндра, который вписан в конус с высотой 15 и радиусом основания 3, равно \(45\pi\).

Задача 9. Для решения этой задачи нам понадобятся геометрические свойства конусов и сфер.

Конус, вписанный в сферу, является конусом, все точки поверхности которого лежат на заданной сфере.

Сфера, вписанная в конус, касается основания конуса в одной точке.

Основание конуса является кругом, а радиус сферы, описанной вокруг конуса, будет равен радиусу окружности основания конуса.

Дано, что образующая конуса равна \(7\sqrt{2}\). Мы знаем, что образующая конуса \(l\) связана с радиусом основания конуса \(r\) и радиусом его сферы \(R\) следующим образом:

\[l^2 = r^2 + R^2\]

Подставляя известное значение для образующей, получим:

\[(7\sqrt{2})^2 = r^2 + R^2\]

Упрощаем выражение:

\[98 = r^2 + R^2\]

Теперь нам нужно найти радиус сферы \(R\), описанной вокруг конуса.

Из геометрических свойств мы знаем, что радиус сферы, описанной вокруг конуса, равен радиусу окружности, которую образует основание конуса.

Таким образом, радиус сферы \(R\) равен радиусу основания конуса \(r\).

Из уравнения \(98 = r^2 + R^2\) становится ясно, что радиус основания конуса и радиус сферы равны друг другу.

Таким образом, радиус сферы, описанной вокруг конуса, равен \(r = \sqrt{98}\).

Ответ: Радиус сферы, описанной вокруг конуса, равна \(\sqrt{98}\).

Задача 10. Чтобы найти площадь поверхности шара, описанного вокруг конуса с радиусом основания \(r\) и высотой \(h\), нам понадобятся формулы для площади поверхности шара и объема конуса.

Площадь поверхности шара можно выразить через его радиус \(R\) следующим образом:

\[S = 4\pi R^2\]

Объем конуса можно выразить через его радиус основания \(r\) и высоту \(h\) следующим образом:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Так как конус полностью вписан в шар, радиус основания конуса будет равен радиусу шара \(R\).

Мы знаем, что радиус основания шара \(R\) равен \(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\), а высота конуса \(h\) равна \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\).

Теперь можем найти объем конуса с использованием известных значений:

\[V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}\]

Упрощаем выражение:

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4}{\pi} \cdot \frac{1}{\pi} = \frac{4}{3\pi^2}\]

Теперь определим радиус шара \(R\), который равен радиусу основания конуса:

\[R = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\]

Используя значение радиуса шара, мы можем найти площадь поверхности шара с помощью формулы:

\[S = 4\pi \left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{16}{\pi}\]

Ответ: Площадь поверхности шара, описанного вокруг конуса с радиусом основания \(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\) и высотой \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\), равна \(\frac{16}{\pi}\).