Запишите выражение cos 105° + cos 100° + cos 95° в виде произведения

Ивановна

58

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Выражение, которое нужно записать в виде произведения, имеет вид:

\[ \cos 105^\circ + \cos 100^\circ + \cos 95^\circ \]

Сначала вспомним формулу для суммы двух косинусов:

\[ \cos a + \cos b = 2 \cos \left( \frac{{a+b}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{a-b}}{2} \right) \]

Давайте применим эту формулу к каждой паре чисел внутри нашего выражения:

1. Для \(\cos 105^\circ\) и \(\cos 100^\circ\):
\[ \cos 105^\circ + \cos 100^\circ = 2 \cos \left( \frac{{105^\circ+100^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{105^\circ-100^\circ}}{2} \right) \]

Мы можем упростить числа внутри скобок:
\[ \cos 105^\circ + \cos 100^\circ = 2 \cos \left( \frac{{205^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right) \]

2. Для \(\cos 100^\circ\) и \(\cos 95^\circ\):
\[ \cos 100^\circ + \cos 95^\circ = 2 \cos \left( \frac{{100^\circ+95^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{100^\circ-95^\circ}}{2} \right) \]

Аналогично, упростим числа внутри скобок:
\[ \cos 100^\circ + \cos 95^\circ = 2 \cos \left( \frac{{195^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right) \]

Теперь мы можем заметить, что у нас есть одинаковые множители в обоих выражениях! Это \(\cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right)\). Поскольку он присутствует дважды, мы можем вынести его за скобку:

\[ \cos 105^\circ + \cos 100^\circ + \cos 95^\circ = 2 \cos \left( \frac{{205^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right) + 2 \cos \left( \frac{{195^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right) \]

А теперь мы можем объединить оба слагаемых и вынести их общий множитель 2 за скобку:

\[ \cos 105^\circ + \cos 100^\circ + \cos 95^\circ = 2 \left( \cos \left( \frac{{205^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right) + \cos \left( \frac{{195^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right) \right) \]

Наконец, мы можем объединить оба косинуса внутри скобок и получить окончательный ответ:

\[ \cos 105^\circ + \cos 100^\circ + \cos 95^\circ = 2 \cdot 2 \cos \left( \frac{{205^\circ + 195^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{205^\circ - 195^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right) \]

\[ \cos 105^\circ + \cos 100^\circ + \cos 95^\circ = 4 \cos \left( \frac{{400^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{10^\circ}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right) \]

Таким образом, выражение \(\cos 105^\circ + \cos 100^\circ + \cos 95^\circ\) в виде произведения равно \(4 \cos 200^\circ \cdot \cos 5^\circ \cdot \cos \left( \frac{{5^\circ}}{2} \right)\).