Определите, являются ли векторы c(2;-6;-8) и d(-1;3;4) коллинеарными

Инна

37

Для того чтобы определить, являются ли векторы \(\mathbf{c} = (2, -6, -8)\) и \(\mathbf{d} = (-1, 3, 4)\) коллинеарными, нам нужно проверить, существует ли между ними постоянное отношение пропорциональности.

Коллинеарность двух векторов означает, что они лежат на одной прямой или параллельны друг другу. Если векторы коллинеарны, то их можно представить как скалярное произведение одного из векторов на другой.

Чтобы проверить коллинеарность векторов \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\), мы можем найти их скалярное произведение. Скалярное произведение двух векторов \(A = (a_1, a_2, a_3)\) и \(B = (b_1, b_2, b_3)\) определяется следующим образом:

\[A \cdot B = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\]

Давайте найдем скалярное произведение для векторов \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\):

\[
\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = (2 \cdot -1) + (-6 \cdot 3) + (-8 \cdot 4) = -2 - 18 - 32 = -52
\]

Теперь, если скалярное произведение равно 0, то векторы ортогональны, и, следовательно, не коллинеарны. Если скалярное произведение не равно 0, то векторы не ортогональны и могут быть коллинеарны, если между ними существует постоянное отношение пропорциональности.

В нашем случае, получили \(\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = -52\), что не является равным 0. Это означает, что векторы \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\) не ортогональны друг другу. Однако, чтобы определить, являются ли они коллинеарны или нет, нам нужно дополнительно проверить, существует ли между ними постоянное отношение пропорциональности.

Для этого мы можем проверить, выполняется ли условие:

\[
\frac{c_1}{d_1} = \frac{c_2}{d_2} = \frac{c_3}{d_3}
\]

где \(c_1, c_2, c_3\) - компоненты вектора \(\mathbf{c}\), а \(d_1, d_2, d_3\) - компоненты вектора \(\mathbf{d}\).

Подставим значения компонент векторов:

\[
\frac{2}{-1} = \frac{-6}{3} = \frac{-8}{4}
\]

Получаем:

\[
-2 = -2
\]

Таким образом, условие выполняется и мы можем сделать вывод, что векторы \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\) являются коллинеарными, так как существует постоянное отношение пропорциональности между их компонентами.

На практике, это означает, что векторы \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{d}\) лежат на одной прямой или параллельны друг другу.