Зівсім зрозуміло, що вершини трикутника мають координати a(-2; -1), b(3; 1), c(1; 5). Будь ласка, визначте характер

Александр

5

Характер кута a трикутника АВС можно определить, используя координаты вершин трикутника и свойства скалярного произведения векторов. Для этого вычислим вектора \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) и найдем их скалярное произведение.

Шаг 1: Вычислим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (3 - (-2); 1 - (-1)) = (5; 2)\)
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (1 - (-2); 5 - (-1)) = (3; 6)\)

Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (5 \cdot 3) + (2 \cdot 6) = 15 + 12 = 27\)

Шаг 3: Определим характер кута a трикутника АВС, используя значение скалярного произведения:
Если \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} > 0\), то угол акутный.
Если \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\), то угол прямой.
Если \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} < 0\), то угол тупой.

В нашем случае, \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 27 > 0\), значит угол a трикутника АВС является остроугольным.

Теперь перейдем к второй части задачи.

Шаг 4: Найдем длину вектора \(\overrightarrow{BD}\), зная, что \(\overrightarrow{BD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC}\):
\(\overrightarrow{BD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \cdot \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = 2 \cdot (1; 5) - (3; 1) = (2; 10) - (3; 1) = (-1; 9)\)

Шаг 5: Вычислим длину вектора \(\overrightarrow{BD}\) по формуле:
\(|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{{x^2} + {y^2}}\), где \(x\) и \(y\) - координаты вектора \(\overrightarrow{BD}\).

\(|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{{(-1)^2 + 9^2}} = \sqrt{{1 + 81}} = \sqrt{{82}}\)

Таким образом, длина вектора \(\overrightarrow{BD}\) равна \(\sqrt{{82}}\).

Вот подробное решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!