Значение функции [tex]y=( frac{5x}{2}+9-x^{2} )^{2}[/tex] с минимальным значением найдено при каких значениях

Пушистик

21

Для начала, давайте проанализируем данную функцию и выясним, как найти ее минимальное значение. Функция имеет вид

\[y = \left(\frac{5x}{2}+9-x^2\right)^2\]

Для определения минимального значения функции, мы должны найти точку, в которой производная функции равна 0. Эта точка будет соответствовать точке экстремума. Используя правило цепочки, найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[\begin{align*}
\frac{{dy}}{{dx}} &= 2 \cdot \left(\frac{5x}{2}+9-x^2\right) \cdot \frac{{d}}{{dx}} \left(\frac{5x}{2}+9-x^2\right) \\
&= 2 \cdot \left(\frac{5x}{2}+9-x^2\right) \cdot \left(\frac{d}{dx}(\frac{5x}{2})+\frac{d}{dx}(9)-\frac{d}{dx}(x^2)\right) \\
&= 2 \cdot \left(\frac{5x}{2}+9-x^2\right) \cdot \left(\frac{5}{2} - 2x\right)
\end{align*}\]

Теперь мы должны приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

\[2 \cdot \left(\frac{5x}{2}+9-x^2\right) \cdot \left(\frac{5}{2} - 2x\right) = 0\]

Так как умножение двух чисел равно нулю, только если одно из них равно нулю, мы можем записать два уравнения:

\[2 \cdot \left(\frac{5x}{2}+9-x^2\right) = 0 \quad \text{или} \quad \frac{5}{2} - 2x = 0\]

Решим первое уравнение:

\[2 \cdot \left(\frac{5x}{2}+9-x^2\right) = 0\]

Раскроем скобки:

\[5x+18-2x^2 =0\]

Перенесем все в левую часть уравнения:

\[2x^2 - 5x - 18 =0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение используя метод подобранных коэффициентов или метод дискриминанта. Давайте воспользуемся методом дискриминанта. Для уравнения вида \(ax^2+bx+c=0\) дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, коэффициенты \(a = 2\), \(b = -5\) и \(c = -18\). Вычислим дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18)\]

\[D = 25 + 144\]

\[D = 169\]

Теперь зная значение дискриминанта, мы можем определить, есть ли решения уравнения. Если \(D > 0\), то есть два различных корня. Если \(D = 0\), есть только один корень. Если \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней.

Для нашего случая, \(D = 169\) и \(D > 0\), что означает, что уравнение имеет два различных корня. Рассчитаем корни уравнения используя формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[\begin{align*}
x_1 &= \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} \\
&= \frac{5 + 13}{4} \\
&= \frac{18}{4} \\
&= 4.5
\end{align*}\]

\[\begin{align*}
x_2 &= \frac{-(-5) - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} \\
&= \frac{5 - 13}{4} \\
&= \frac{-8}{4} \\
&= -2
\end{align*}\]

Итак, мы получили два значения переменной \(x\): \(x_1 = 4.5\) и \(x_2 = -2\).

Теперь давайте найдем соответствующие значения функции \(y\) для этих двух значений \(x\). Подставим их обратно в исходное уравнение:

\[y_1 = \left(\frac{5 \cdot 4.5}{2}+9-(4.5)^2\right)^2\]

\[y_2 = \left(\frac{5 \cdot (-2)}{2}+9-(-2)^2\right)^2\]

Теперь вычислим значения \(y\):

\[y_1 = \left(\frac{22.5}{2}+9-20.25\right)^2\]

\[y_2 = \left(\frac{-10}{2}+9-4\right)^2\]

\[y_1 = (11.25+9-20.25)^2\]

\[y_2 = (-5+9-4)^2\]

\[y_1 = 0^2 = 0\]

\[y_2 = 0^2 = 0\]

Таким образом, минимальное значение функции \(y\) равно 0 и достигается при значениях переменной \(x\), равных 4.5 и -2.