Значение функции [tex]y=( frac{5x}{2}+9-x^{2} )^{2}[/tex] с минимальным значением найдено при каких значениях

Пушистик

21

Для начала, давайте проанализируем данную функцию и выясним, как найти ее минимальное значение. Функция имеет вид

$$y={(\frac{5x}{2}+9-x^2)}^2$$

Для определения минимального значения функции, мы должны найти точку, в которой производная функции равна 0. Эта точка будет соответствовать точке экстремума. Используя правило цепочки, найдем производную функции $y$ по переменной $x$:

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =2\cdot (\frac{5x}{2}+9-x^2)\cdot \frac{d}{dx}(\frac{5x}{2}+9-x^2)\\ & =2\cdot (\frac{5x}{2}+9-x^2)\cdot (\frac{d}{dx}(\frac{5x}{2})+\frac{d}{dx}(9)-\frac{d}{dx}(x^2))\\ & =2\cdot (\frac{5x}{2}+9-x^2)\cdot (\frac{5}{2}-2x)\end{array}$$

Теперь мы должны приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

$$2\cdot (\frac{5x}{2}+9-x^2)\cdot (\frac{5}{2}-2x)=0$$

Так как умножение двух чисел равно нулю, только если одно из них равно нулю, мы можем записать два уравнения:

$$2\cdot (\frac{5x}{2}+9-x^2)=0\text{или}\frac{5}{2}-2x=0$$

Решим первое уравнение:

$$2\cdot (\frac{5x}{2}+9-x^2)=0$$

Раскроем скобки:

$$5x+18-2x^2=0$$

Перенесем все в левую часть уравнения:

$$2x^2-5x-18=0$$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение используя метод подобранных коэффициентов или метод дискриминанта. Давайте воспользуемся методом дискриминанта. Для уравнения вида $a{x}^2+bx+c=0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем случае, коэффициенты $a=2$, $b=-5$ и $c=-18$. Вычислим дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot (-18)$$

$$D=25+144$$

$$D=169$$

Теперь зная значение дискриминанта, мы можем определить, есть ли решения уравнения. Если $D>0$, то есть два различных корня. Если $D=0$, есть только один корень. Если $D<0$, уравнение не имеет действительных корней.

Для нашего случая, $D=169$ и $D>0$, что означает, что уравнение имеет два различных корня. Рассчитаем корни уравнения используя формулу:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{-(-5)+\sqrt{169}}{2\cdot 2}\\ & =\frac{5+13}{4}\\ & =\frac{18}{4}\\ & =4.5\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{x}_2& =\frac{-(-5)-\sqrt{169}}{2\cdot 2}\\ & =\frac{5-13}{4}\\ & =\frac{-8}{4}\\ & =-2\end{array}$$

Итак, мы получили два значения переменной $x$: $x_1=4.5$ и $x_2=-2$.

Теперь давайте найдем соответствующие значения функции $y$ для этих двух значений $x$. Подставим их обратно в исходное уравнение:

$$y_1={(\frac{5\cdot 4.5}{2}+9-(4.5{)}^2)}^2$$

$$y_2={(\frac{5\cdot (-2)}{2}+9-(-2{)}^2)}^2$$

Теперь вычислим значения $y$:

$$y_1={(\frac{22.5}{2}+9-20.25)}^2$$

$$y_2={(\frac{-10}{2}+9-4)}^2$$

$$y_1=(11.25+9-20.25{)}^2$$

$$y_2=(-5+9-4{)}^2$$

$$y_1=0^2=0$$

$$y_2=0^2=0$$

Таким образом, минимальное значение функции $y$ равно 0 и достигается при значениях переменной $x$, равных 4.5 и -2.