Докажите, что сумма острого и тупого углов, образованных прямыми, параллельными сторонам этого угла, равна 180°

Ярослав

44

Разумеется! Давайте детально рассмотрим эту задачу.

Для начала, нам необходимо уяснить некоторые основные понятия и определения, связанные с углами и параллельными линиями. Пара углов, образованных двумя прямыми, которые пересекаются третьей прямой, называется "внутренней парой вертикальных углов". Таким образом, внутренние пары вертикальных углов образуются при пересечении двух параллельных прямых линий третьей прямой.

В нашей задаче мы имеем две параллельные прямые, и наша задача - доказать, что сумма острого и тупого углов, образованных этими прямыми, составляет 180°.

Приступим к доказательству.

1. Рассмотрим две параллельные прямые \(\text{AB}\) и \(\text{CD}\), пересекающие третью прямую \(\text{EF}\):

\[
\begin{array}{ccc}
\text{A} & --- & \text{B} \\
\parallel & & \parallel \\
\text{E} & --- & \text{F} \\
& & \parallel \\
& & \text{C} & --- & \text{D}
\end{array}
\]

2. Из определения вертикальных углов, мы знаем, что вертикальные углы, образованные параллельными прямыми, равны между собой. То есть, \(\angle \text{AEF}\) равен углу \(\angle \text{CFE}\), и угол \(\angle \text{BEF}\) равен углу \(\angle \text{DEF}\).

3. Обратите внимание, что острый угол образуется прямыми \(\text{AB}\) и \(\text{EF}\), а тупой угол образуется прямыми \(\text{FE}\) и \(\text{CD}\).

4. Так как сумма углов на прямой составляет 180°, то мы можем записать следующее уравнение:

\[
\angle \text{AEF} + \angle \text{BEF} + \angle \text{CFE} + \angle \text{DEF} = 180°
\]

5. Подставим выражения для вертикальных углов из пункта 2:

\[
\angle \text{AEF} + \angle \text{BEF} + \angle \text{AEF} + \angle \text{BEF} = 180°
\]

6. Совершим сокращения:

\[
2(\angle \text{AEF} + \angle \text{BEF}) = 180°
\]

7. Разделим обе части уравнения на 2:

\[
\angle \text{AEF} + \angle \text{BEF} = 90°
\]

8. Но из определения острого и тупого угла, мы знаем, что сумма острого и тупого углов составляет 180°. Таким образом, мы можем записать:

\[
\angle \text{AEF} + \angle \text{BEF} = 180°
\]

9. Отсюда мы видим, что \(\angle \text{AEF} + \angle \text{BEF} = 180° = 90°\).

Таким образом, мы успешно доказали, что сумма острого и тупого углов, образованных прямыми, параллельными сторонам угла, равна 180°.