Знайдіть фокусну відстань двоопуклої скляної лінзи, яка знаходиться під водою, якщо фокусна відстань цієї лінзи

Язык

64

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу, связывающую фокусное расстояние линзы в вакууме (\(f_1\)), фокусное расстояние линзы в среде (\(f_2\)), и абсолютные показатели преломления сред (\(n_1\) и \(n_2\)):

\[\frac{1}{f_1} = (n_2 - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\]
\[\frac{1}{f_2} = (n_1 - n_2) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\]

Здесь \(R_1\) и \(R_2\) - радиусы кривизны поверхностей линзы, а \(f_1\) и \(f_2\) - фокусные расстояния в вакууме и в среде соответственно.

Поскольку мы знаем фокусное расстояние в вакууме (\(f_1 = 20 \, \text{см}\)), а также абсолютные показатели преломления стекла (\(n_1 = 1,5\)) и воды (\(n_2 = 1,33\)), мы можем использовать эти значения для решения задачи.

Так как линза находится под водой, мы заменяем абсолютный показатель преломления в формуле для \(f_1\) на показатель преломления среды, в которой прозрачное тело находится (в нашем случае это вода, \(n_2 = 1,33\)). Подставим известные значения в формулу:

\[\frac{1}{f_1} = (1,33 - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\]

Мы можем также заменить в данной формуле значение \(f_1\) на известное значение фокусного расстояния в вакууме (\(f_1 = 20 \, \text{см}\)):

\[\frac{1}{20} = 0,33 \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\]

Однако, данная формула содержит два неизвестных значения - радиусы кривизны поверхностей линзы (\(R_1\) и \(R_2\)). Что же делать в таком случае?

Мы можем воспользоваться дополнительной информацией о линзе, чтобы найти соотношение между радиусами кривизны поверхностей.

У двояковыпуклой линзы радиусы кривизны поверхностей имеют одинаковую величину, но противоположные знаки. Обозначим радиус кривизны первой поверхности линзы как \(R\), а радиус кривизны второй поверхности линзы как \(-R\).

Учитывая это, мы можем переписать выражение для разности обратных радиусов кривизны, используя только одно значение \(R\):

\[\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R} - \frac{1}{(-R)} = \frac{2}{R}\]

Теперь мы можем продолжить решение задачи, подставив полученное значение вместо разности обратных радиусов кривизны в формулу:

\[\frac{1}{20} = 0,33 \cdot \frac{2}{R}\]

Решим данное уравнение относительно \(R\):

\[\frac{1}{20} = \frac{0,66}{R}\]
\[R = \frac{0,66}{\frac{1}{20}} = 13,2 \, \text{см}\]

Теперь, когда мы нашли значение радиуса кривизны (\(R = 13,2 \, \text{см}\)), мы можем найти фокусное расстояние в среде (\(f_2\)) с помощью формулы для \(f_2\):

\[\frac{1}{f_2} = (1,5 - 1,33) \cdot \frac{2}{13,2}\]
\[\frac{1}{f_2} = 0,17 \cdot \frac{2}{13,2}\]
\[\frac{1}{f_2} = \frac{0,17 \cdot 2}{13,2}\]
\[\frac{1}{f_2} = \frac{0,34}{13,2}\]
\[f_2 = \frac{13,2}{0,34} \approx 38,8 \, \text{см}\]

Таким образом, фокусное расстояние двояковыпуклой склянной линзы, находящейся под водой, составляет около 38,8 см.