Знайдіть радіус кола, що об єднує трикутник, що має всі сторони рівною довжиною і в яке вписане коло має радіус, який

Дмитриевна

14

Для решения данной задачи, нужно воспользоваться свойствами треугольника, вписанного в окружность, и его окружности, вписанной в треугольник.

Пусть сторона треугольника равна \( a \), а радиус вписанной окружности равен \( r \).

Так как треугольник равносторонний, то все его углы равны \( 60^\circ \).

Также известно, что вписанный угол равен половине его дуги, ограниченной этим углом. То есть, в нашем случае, вписанный угол равен \( 60^\circ \), следовательно, дуга, ограниченная этим углом, равна \( 120^\circ \).

Так как радиус вписанной окружности перпендикулярен к хорде, и половина этой хорды лежит на радиусе (прямого действия), то угол между радиусом и хордой равен половине сответствующей дуги.

Так как дуга, ограниченная вписанным углом, равна \( 120^\circ \), то угол между радиусом и любой стороной треугольника равен \( \frac{120}{2} = 60^\circ \).

Теперь мы можем воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника:

\[ R = \frac{a}{2\sin(60^\circ)} \]

Подставим значения:

\[ R = \frac{a}{2\sin(60^\circ)} = \frac{a}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{2\sqrt{3}} = \frac{2a}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной \( a \), равен \( \frac{a\sqrt{3}}{3} \).