Знайдіть відстань від точки М до площини АВС. (Задача полягає в знаходженні відстані від точки М до площини АВС, через

Мишутка

2

Для решения данной задачи, нам нужно использовать свойство прямолинейного расстояния в пространстве. Дано, что точка М находится на перпендикуляре, проведенном из вершины В треугольника АВС, и что расстояние от точки М до прямой АС равно \(2\sqrt{13}\). Чтобы найти расстояние от точки М до плоскости АВС, мы должны найти длину перпендикуляра, проведенного из точки М до плоскости АВС.

Для начала нам потребуется найти уравнение плоскости АВС. Поскольку треугольник АВС - правильный, то его плоскостью может служить плоскость, проходящая через три его вершины. Это плоскость можно задать векторным уравнением через два вектора, находящихся в этой плоскости. Поскольку вершины А и С можно соединить с вершиной В, эти векторы - это \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Тогда векторное уравнение плоскости АВС имеет вид:
\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{AB} + u\cdot\overrightarrow{BC} + v\cdot\overrightarrow{CA}\), где \(\overrightarrow{r}\) - радиус-вектор точки плоскости, \(u\) и \(v\) - параметры, пробегающие все вещественные числа.

Зная, что длина стороны треугольника АВС равна 6 см, и уже указанные векторы \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}\) можно записать уравнение плоскости АВС в координатной форме, подставив соответствующие координаты вершин:
\(2x + 3y + 6z = d\), где \(d\) - некоторая константа, которую мы будем искать.

Теперь нам необходимо найти перпендикулярную прямую, проведенную из точки М на плоскость АВС. Для этого нам понадобится найти уравнение прямой МВ.

Так как перпендикуляр к плоскости должен быть перпендикулярен всем прямым, лежащим в этой плоскости, прямая МВ должна быть перпендикулярна плоскости АВС. Это означает, что вектор, направленный по прямой МВ, должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости АВС.

Нормальный вектор плоскости АВС, \(\overrightarrow{n}\), можно найти путем нахождения попарных произведений векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\):
\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}\).

Подставляя значения соответствующих координат, получаем:
\(\overrightarrow{n} = (2, 3, 0) \times (0, 3, -3) = (-9, 0, 6)\).

Так как перпендикулярные векторы имеют скалярное произведение, равное нулю, мы можем записать уравнение прямой МВ:
\((\overrightarrow{r} - \overrightarrow{M}) \cdot \overrightarrow{n} = 0\), где \(\overrightarrow{M}\) - радиус-вектор точки М.

Раскрывая скалярное произведение и подставляя известные значения вектора \(\overrightarrow{n}\) и длину прямой МВ (\(MB = 6\)), получаем:
\(\overrightarrow{M}(2, 0, 0) + t(-9, 0, 6) = \overrightarrow{r}\), где \(t\) - параметр, пробегающий все вещественные числа.

Теперь нам нужно найти пересечение прямой МВ с плоскостью АВС. Для этого подставим уравнение прямой МВ в уравнение плоскости АВС и найдем значение параметра \(t\):
\(2(2 - 9t) + 3(0) + 6(0 + 6t) = d\).

Раскрывая скобки и сокращая, получаем:
\(4 - 18t + 36t = d\),
\(4 + 18t = d\).

Также нам дано, что расстояние от точки М до прямой АС равно \(2\sqrt{13}\), поэтому мы можем записать уравнение для этой прямой:
\(\overrightarrow{M}(2, 0, 0) + s(2, 3, 0) = \overrightarrow{r}\), где \(s\) - параметр, пробегающий все вещественные числа.

Теперь найдем пересечение прямой АС с плоскостью АВС. Подставляем уравнение прямой АС в уравнение плоскости АВС и найдем значение параметра \(s\):
\(2(2 + 2s) + 3(3s) + 6(0) = d\).

Раскрывая скобки и сокращая, получаем:
\(4 + 4s + 9s = d\),
\(13s + 4 = d\).

Теперь, имея два уравнения для одной и той же константы \(d\), мы можем приравнять выражения:
\(4 + 18t = 13s + 4\).

Выразим \(t\) через \(s\):
\(18t = 13s\)
\(t = \frac{13s}{18}\).

Подставляем это выражение для \(t\) в одно из уравнений:
\(4 + 18\cdot\frac{13s}{18} = 13s + 4\),
\(13s = 13s\).

Так как \(s\) может принимать любое значение, значения \(t\) и \(s\) равны нулю и произвольные, соответственно. Таким образом, точка М пересекается с плоскостью АВС на пути до прямой АС.

Теперь можно найти расстояние от точки М до плоскости АВС, используя координаты пересечения, найденные для значения \(t = 0\) (или \(s = 0\)):
\(2(2 - 9\cdot0) + 3(0) + 6(0 + 6\cdot0) = d\),
\(4 = d\).

Таким образом, расстояние от точки М до плоскости АВС равно 4 см.