Знайдіть висоту призми з основою, що складається з рівнобедренного трикутника, який має бічну сторону довжиною 6

Водопад

49

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать геометрические свойства рівнобедренного трикутника и формулу для вычисления объема призмы.

В данной задаче у нас есть рівнобедренный трикутник с боковой стороной длиной 6 см и углом 120° при вершине. Поскольку треугольник рівнобедренный, то основание у него также является рівнобедренный треугольником. Обозначим длину основания треугольника как \(a\) см.

Чтобы найти высоту призмы, нам нужно знать высоту треугольника, составляющего основание призмы. Обозначим эту высоту как \(h\) см.

Для начала найдем длину основания треугольника. В рівнобедренном трикутнике, биссектриса угла при вершине является высотой, медианой и медианой. То есть, \(h\) является и высотой, и медианой треугольника. По свойствам рівнобедренного треугольника, медиана равна половине основания, что равно \(\frac{a}{2}\).

Теперь нам нужно найти длину основания треугольника \(a\). Для этого мы можем использовать теорему косинусов. В рівнобедренном трикутнике боковая сторона равна основанию треугольника. Обозначим эту боковую сторону как \(b\) см.

Теорема косинусов: \(b^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(120°) \)

Подставив известные значения, получим: \( 6^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(120°) \)

\( 36 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(120°) \)

Упрощая уравнение: \( 36 = 2a^2(1 - \cos(120°)) \)

\( a^2 = \frac{36}{2(1 - \cos(120°))} \)

Теперь найдем \(a\):

\( a = \sqrt{\frac{36}{2(1 - \cos(120°))}} \)

\( a \approx \sqrt{\frac{36}{2(1 + 0.5)}} \)

\( a \approx \sqrt{\frac{36}{2(1.5)}} \)

\( a \approx \sqrt{\frac{36}{3}} \)

\( a \approx \sqrt{12} \)

\( a \approx 3.464 \) (округляем до трех знаков после запятой).

Теперь у нас есть длина основания \(a\) треугольника, которая равна 3.464 см.

Чтобы найти высоту призмы, необходимо найти высоту треугольника \(h\). Поскольку треугольник рівнобедренный, то мы можем использовать теорему Пифагора для его нахождения.

Теорема Пифагора: \(h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2 \)

Подставляя значения, получим: \( h^2 = 6^2 - (\frac{3.464}{2})^2 \)

\( h^2 = 36 - (\frac{3.464}{2})^2 \)

\( h^2 = 36 - (\frac{3.464}{2} \cdot \frac{3.464}{2}) \)

\( h^2 = 36 - (\frac{3.464 \cdot 3.464}{2 \cdot 2}) \)

\( h^2 = 36 - (\frac{11.978496}{4}) \)

\( h^2 = 36 - 2.994624 \)

\( h^2 = 33.005376 \)

\( h \approx \sqrt{33.005376} \)

\( h \approx 5.745 \) (округляем до трех знаков после запятой)

Таким образом, получаем, что высота призмы равна 5.745 см.