Знайти довжину катетів прямокутного трикутника з гіпотенузою довжиною 14 см і кутом 65°. Знайти величину гострих кутів

Ярус

65

Прежде чем перейти к решению задач, давайте вспомним основные понятия, связанные с прямоугольными треугольниками.

В прямоугольном треугольнике угол, противолежащий гипотенузе (стороне, наиболее удаленной от прямого угла), называется прямым углом. Два других угла называются острыми углами. Острые углы в сумме всегда равны 90 градусов.

Теперь мы готовы перейти к решению задач.

1. Для нахождения длины катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой длиной 14 см и углом 65°, мы можем использовать соотношения из тригонометрии.

По определению синуса угла, синус угла равен отношению противоположной стороны к гипотенузе:
\(\sin(65°) = \frac{Противоположный_катет}{Гипотенуза}\)

Мы знаем гипотенузу: 14 см. Значит:
\(\sin(65°) = \frac{Противоположный_катет}{14 см}\)

Теперь решим эту пропорцию относительно противоположного катета:
\(Противоположный_катет = 14 см * \sin(65°)\)

Подставляя значение синуса из таблицы (округлим его до трех знаков после запятой), получаем:
\(Противоположный_катет \approx 14 см * 0.906 = 12.684 см\)

Таким образом, длина противоположного катета округляется до 12.684 см.

Чтобы найти второй катет, мы можем использовать определение косинуса угла:
\(\cos(65°) = \frac{Прилежащий_катет}{Гипотенуза}\)

Подставляя известные значения, получаем:
\(\cos(65°) = \frac{Прилежащий_катет}{14 см}\)

Теперь решим пропорцию относительно прилежащего катета:
\(Прилежащий_катет = 14 см * \cos(65°)\)

Подставим значение косинуса:
\(Прилежащий_катет \approx 14 см * 0.423 = 5.912 см\)

Таким образом, длина прилежащего катета округляется до 5.912 см.

Ответ: Длина противоположного катета примерно равна 12.684 см, а длина прилежащего катета примерно равна 5.912 см.

2. Для нахождения величины острых углов прямоугольного треугольника с гипотенузой 20 см и катетом 14 см мы также можем использовать тригонометрические соотношения.

По определению синуса угла, синус угла равен отношению противоположной стороны к гипотенузе:
\(\sin(острый\,угол) = \frac{14 см}{20 см}\)

Решая это уравнение, найдем значение синуса:
\(\sin(острый\,угол) = 0.7\)

Теперь нам нужно найти значение острых углов. Для этого мы поменяем функцию и будем искать значение косинуса (так как косинус острого угла равен синусу противоположного острого угла):
\(\cos(острый\,угол) = \sqrt{1 - \sin^2(острый\,угол)}\)

Подставив значение синуса, получаем:
\(\cos(острый\,угол) = \sqrt{1 - 0.7^2} = \sqrt{1 - 0.49} \approx \sqrt{0.51} \approx 0.714\)

Таким образом, получим значение косинуса острого угла, округлив его до трех знаков после запятой.

Теперь, чтобы найти величину острого угла, мы можем использовать обратные тригонометрические функции -- арксинус и арккосинус. Для первого угла:
\(острый\,угол_1 = \arcsin(0.7)\)

Подставим значение синуса из таблицы (округлим его до трех знаков после запятой):
\(острый\,угол_1 \approx 44.427°\)

Второй острый угол будет равен:
\(острый\,угол_2 = 90° - острый\,угол_1 \approx 45.573°\)

Ответ: Острый угол 1 примерно равен 44.427°, а острый угол 2 примерно равен 45.573°.

3. Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен 0.2 гипотенузы, то мы можем использовать те же тригонометрические соотношения для нахождения величины острых углов.

Предположим, что гипотенуза равна H см. Тогда один из катетов будет равен 0.2H см.

Используя определение синуса угла, мы получаем:
\(\sin(острый\,угол) = \frac{0.2H см}{H см}\)

Решая это уравнение, найдем значение синуса:
\(\sin(острый\,угол) = 0.2\)

Теперь, чтобы найти величину острого угла, мы можем снова использовать обратную тригонометрическую функцию арксинус:
\(острый\,угол = \arcsin(0.2)\)

Подставим значение синуса из таблицы (округлим его до трех знаков после запятой):
\(острый\,угол \approx 11.536°\)

Острый угол будет таким же как и в треугольнике, где катет равен 14 см (так как острый угол определяется отношением сторон, а не их абсолютными значениями).

Ответ: Величина острого угла примерно равна 11.536°.

Надеюсь, что эти объяснения и решения помогут вам понять прямоугольные треугольники лучше. Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать их!