Знайти гострі кути цього прямокутного трикутника з точністю до градусів при відомому відношенні довжини катетів

Ameliya

40

Задача состоит в поиске острых углов прямоугольного треугольника с точностью до градусов, если известно отношение длин катетов.

Для начала, дадим обозначения катетам треугольника: пусть \(a\) и \(b\) - длины катетов, где \(a > b\). По теореме Пифагора, гипотенуза \(c\) (самая длинная сторона треугольника) может быть найдена по формуле:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Затем, чтобы определить острые углы треугольника, мы можем использовать обратные тригонометрические функции. В случае прямоугольного треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), острый угол \(\alpha\) можно найти с помощью функции арктангенс (\(\arctan\)):

\[\alpha = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\]

Аналогично, острый угол \(\beta\) можно найти с помощью функции арктангенс (\(\arctan\)):

\[\beta = \arctan\left(\frac{a}{b}\right)\]

Теперь, имея формулы, давайте выполним все расчеты. Предположим, что отношение длин катетов \(\frac{a}{b}\) равно \(2\).

Сначала найдем гипотенузу \(c\):

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(2b)^2 + b^2} = \sqrt{4b^2 + b^2} = \sqrt{5b^2} = b\sqrt{5}\]

Теперь найдем острый угол \(\alpha\):

\[\alpha = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) = \arctan\left(\frac{b}{2b}\right) = \arctan\left(\frac{1}{2}\right)\]

Подставляя значение в тригонометрическую функцию (в радианах), мы получаем:

\[\alpha \approx 0.4636 \text{ радиан} \approx 26.565 \text{ градусов}\]

Аналогично, найдем острый угол \(\beta\):

\[\beta = \arctan\left(\frac{a}{b}\right) = \arctan\left(\frac{2b}{b}\right) = \arctan(2)\]

Подставляя значение в тригонометрическую функцию (в радианах), мы получаем:

\[\beta \approx 1.1071 \text{ радиан} \approx 63.435 \text{ градусов}\]

Итак, острые углы этого прямоугольного треугольника с точностью до градусов при отношении длин катетов \(2\) равны примерно \(26.565\) градусов и \(63.435\) градусов.