Знайти в трапеції AB = (2; 9) і BC (-4; 5), довжину вектора BD і вектора AC у прямокутній системі координат на площині

Янгол

30

Хорошо! Давайте решим задачу по поиску векторов BD и AC в прямоугольной системе координат на плоскости, а затем найдем скалярное произведение векторов BD.

Для начала, нам нужно найти координаты точек D и C трапеции ABC.

Используя известные нам координаты точек A(2, 9) и B(-4, 5), можно построить вектор AB.

Вектор AB представляет собой разность координат точек B и A:

\[AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-4 - 2, 5 - 9) = (-6, -4)\]

Теперь, чтобы найти вектор BD, нужно найти координаты точки D.

Поскольку трапеция ABC является прямоугольной, мы можем найти точку D, зная координаты точек A, B и C. Для этого надо заметить, что точки A, B, C и D образуют прямоугольник.

Координаты противоположной вершины прямоугольника D могут быть найдены путем сложения координат вершин C и B, а затем вычитанием координат вершины A:

\[D = C + B - A = (-4, 5) + (-4, 5) - (2, 9) = (-10, 1)\]

Теперь у нас есть координаты точек B и D. Мы можем построить вектор BD, используя разность координат двух точек:

\[BD = (x_D - x_B, y_D - y_B) = (-10 - (-4), 1 - 5) = (-6, -4)\]

Длина вектора BD может быть найдена с использованием формулы:

\[|BD| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]

Теперь перейдем к нахождению вектора AC. Вектор AC можно получить, вычтя координаты точки A из координат точки C:

\[AC = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-4 - 2, 5 - 9) = (-6, -4)\]

Таким образом, вектор AC имеет такие же координаты, как и вектор AB.

Наконец, найдем скалярное произведение векторов BD и AC. Для этого применим формулу скалярного произведения:

\[BD \cdot AC = (-6) \cdot (-6) + (-4) \cdot (-4) = 36 + 16 = 52\]

Таким образом, скалярное произведение векторов BD и AC равно 52.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло понять, как мы находим векторы BD и AC, и как мы вычисляем их длину и скалярное произведение. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!