Знайти значення прискорення вільного падіння на Юпітері, якщо відомо, що середня щільність планети становить 1300

Изумруд

32

Для розв"язання цієї задачі, ми можемо скористатися формулою для прискорення вільного падіння \(g\) на поверхні планети:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

де \(G\) - гравітаційна постійна, \(M\) - маса планети, \(R\) - радіус планети.

По-перше, нам потрібно обчислити масу планети \(M\). Для цього ми можемо скористатися формулою:

\[M = V \cdot \rho\]

де \(V\) - об"єм планети, \(\rho\) - щільність планети.

Для обчислення об"єму \(V\) ми можемо використати формулу для об"єму сфери:

\[V = \frac{4}{3} \pi R^3\]

Застосуємо ці формули до наших даних.

Спочатку обчислимо масу планети:

\[M = V \cdot \rho = \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right) \cdot \rho\]

\[M = \left(\frac{4}{3} \pi (71000 \times 10^3)^3\right) \cdot 1300\]

Тепер, коли ми знаємо масу планети, можемо обчислити прискорення вільного падіння \(g\):

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

Для нашого розрахунку ми використаємо значення гравітаційної постійної \(G = 6.67430 \times 10^{-11}\) м3 ⋅ кг^-1 ⋅ с^-2.

\[g = \frac{{(6.67430 \times 10^{-11}) \cdot M}}{{(71000 \times 10^3)^2}}\]

Виконавши математичні обчислення, отримаємо значення прискорення вільного падіння на Юпітері.

Для кращого розуміння цього процесу, давайте підставимо числові значення у формули:

\[V = \frac{4}{3} \pi \cdot (71000 \cdot 10^3)^3 \approx 1.431 \times 10^{23} \, \text{м}^3\]
\[M = V \cdot \rho = 1.431 \times 10^{23} \, \text{м}^3 \cdot 1300 \, \text{кг/м}^3 \approx 1.859 \times 10^{26} \, \text{кг}\]
\[g = \frac{{(6.67430 \times 10^{-11}) \cdot 1.859 \times 10^{26}}}{{(71000 \times 10^3)^2}} \approx 24.9 \, \text{м/с}^2\]

Таким чином, прискорення вільного падіння на Юпітері приблизно становить 24.9 м/с^2. Зверніть увагу, що точність обчислень може варіюватися в залежності від значень фізичних констант та округлення використовуваних чисел.