1. 1) 21/40 divided by 3/4; 2) 1 5/9 divided by 1 8/27; 3) 5 divided by 15/16; 4) 9/17 divided by 3; 2. In a barrel

Чудо_Женщина

22

1. Решим пошагово каждую задачу:

1) Мы должны разделить 21/40 на 3/4. Для этого умножим делимое на обратную величину делителя:
\[
\frac{21}{40} \div \frac{3}{4} = \frac{21}{40} \cdot \frac{4}{3}
\]
Упростим дробь, сократив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 1:
\[
\frac{21}{40} \cdot \frac{4}{3} = \frac{21 \div 1}{40 \div 1} \cdot \frac{4}{3} = \frac{21 \cdot 4}{40 \cdot 3}
\]
Тогда получим:
\[
\frac{21 \cdot 4}{40 \cdot 3} = \frac{84}{120}
\]
Числитель и знаменатель можно сократить на их наибольший общий делитель, равный 12:
\[
\frac{84 \div 12}{120 \div 12} = \frac{7}{10}
\]

2) Теперь разделим 1 5/9 на 1 8/27. Сначала приведём смешанную дробь к неправильной:
\[
1 \frac{5}{9} = \frac{1 \times 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}
\]
Теперь разделим одну неправильную дробь на другую:
\[
\frac{14}{9} \div \frac{1 \times 27 + 8}{27} = \frac{14}{9} \cdot \frac{27}{1 \times 27 + 8} = \frac{14}{9} \cdot \frac{27}{35}
\]
Сократим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 1:
\[
\frac{14}{9} \cdot \frac{27}{35} = \frac{14 \cdot 27}{9 \cdot 35}
\]
Итак:
\[
\frac{14 \cdot 27}{9 \cdot 35} = \frac{378}{315}
\]
Мы можем сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 63:
\[
\frac{378 \div 63}{315 \div 63} = \frac{6}{5}
\]

3) Далее, нам нужно разделить 5 на 15/16. Это можно сделать, умножив делитель на обратную его величину:
\[
5 \div \frac{15}{16} = 5 \cdot \frac{16}{15}
\]
Результат будет:
\[
5 \cdot \frac{16}{15} = \frac{5 \cdot 16}{15}
\]
Итак:
\[
\frac{5 \cdot 16}{15} = \frac{80}{15}
\]
Числитель и знаменатель можно сократить на их наибольший общий делитель, который равен 5:
\[
\frac{80 \div 5}{15 \div 5} = \frac{16}{3}
\]

4) Разделим 9/17 на 3. У этого нет сложности, просто разделите числитель на делитель:
\[
\frac{9}{17} \div 3 = \frac{9}{17} \cdot \frac{1}{3}
\]
Получим:
\[
\frac{9}{17} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9 \div 1}{17 \div 3} = \frac{9}{51}
\]
Числитель и знаменатель можно сократить на их наибольший общий делитель, равный 3:
\[
\frac{9 \div 3}{51 \div 3} = \frac{3}{17}
\]

Обозначения:
- \( \div \) - знак деления,
- \( \times \) - знак умножения,
- \( \frac{числитель}{знаменатель} \) - дробь

2. Дан участок, в который было налито 32 литра воды и он заполнился на \( \frac{4}{7} \) своего объёма. Найдём объём бочки.

Чтобы найти объём бочки, мы можем использовать пропорцию между налитым объёмом воды и общим объёмом бочки. Допустим, общий объём бочки составляет \( x \) литров. Тогда пропорция будет следующей:
\[
\frac{32}{x} = \frac{4}{7}
\]
Мы можем переписать эту пропорцию, чтобы найти неизвестное значение \( x \):
\[
4x = 32 \cdot 7
\]
Теперь разделим обе стороны уравнения на 4, чтобы изолировать \( x \):
\[
x = \frac{32 \cdot 7}{4}
\]
Итак:
\[
x = \frac{224}{4}
\]
Упростим дробь, поделив числитель на знаменатель:
\[
x = 56
\]
Таким образом, объём бочки составляет 56 литров.

3. Сколько граммов 9% раствора нужно взять, чтобы содержалось 36 граммов соли?

Давайте решим эту задачу. Раствор имеет концентрацию 9%, что означает, что 9 граммов соли содержится в 100 граммах раствора.
Чтобы найти количество граммов 9% раствора, необходимое для содержания 36 граммов соли, мы можем использовать пропорцию. Пусть \( x \) - это количество граммов 9% раствора, которое нужно взять. Тогда пропорция будет следующей:

\[
\frac{9}{100} = \frac{36}{x}
\]

Мы можем переписать эту пропорцию, чтобы найти значение \( x \):

\[
9x = 100 \cdot 36
\]

Разделим обе стороны уравнения на 9, чтобы изолировать \( x \):

\[
x = \frac{100 \cdot 36}{9}
\]

Итак,

\[
x = \frac{3600}{9}
\]

Упростим дробь, поделив числитель на знаменатель:

\[
x = 400
\]

Таким образом, нам нужно взять 400 граммов 9% раствора для содержания 36 граммов соли.

4. Выполним следующие операции:

\[
\left(7 - \frac{2\frac{2}{5}}{\frac{8}{15}}\right) \div \frac{5\frac{5}{8}}{1}
\]

Для начала, решим выражение внутри скобок:

\[
\frac{2\frac{2}{5}}{\frac{8}{15}}
\]

Приведём смешанную дробь к обыкновенной:

\[
2\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 2 + 2}{5} = \frac{12}{5}
\]

Теперь решим деление дробей:

\[
\frac{12}{5} \div \frac{8}{15} = \frac{12}{5} \cdot \frac{15}{8}
\]

Получим:

\[
\frac{12}{5} \cdot \frac{15}{8} = \frac{12 \cdot 15}{5 \cdot 8} = \frac{180}{40} = \frac{9}{2}
\]

Итак, выражение внутри скобок равно \( \frac{9}{2} \).

Теперь, разделим это выражение на \(\frac{5\frac{5}{8}}{1}\):

\[
\frac{\frac{9}{2}}{\frac{5 \cdot 8 + 5}{8}} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{45}{8}} = \frac{9}{2} \cdot \frac{8}{45}
\]

После упрощения:

\[
\frac{9}{2} \cdot \frac{8}{45} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 45} = \frac{72}{90}
\]

Числитель и знаменатель можно сократить на их наибольший общий делитель, равный 18:

\[
\frac{72 \div 18}{90 \div 18} = \frac{4}{5}
\]

Итак, результат операций равен \(\frac{4}{5}\).

5. Переведите обыкновенную дробь \(\frac{2}{9}\) в повторяющуюся десятичную дробь.

Для того чтобы перевести \(\frac{2}{9}\) в повторяющуюся десятичную дробь, мы должны разделить 2 на 9. При делении мы обнаружим, что десятичная дробь начинает повторяться после некоторого числа знаков. Давайте выполним деление:

\[
\begin{array}{c|cccc}
& 0 & . & 2 & 2 \\
\hline
9 & 2 & . & 0 & 0 \\
- 1 & 8 & & 1 & 8 \\
\hline
& 4 & & 8 &
\end{array}
\]

Результат деления будет равен \(\frac{2}{9} \approx 0.22\overline{2}\), где цифры 2 повторяются бесконечно.

6. Два велосипедиста стартовали одновременно из двух деревень друг к другу. Один велосипедист двигался со скоростью 20 км/ч, а другой - со скоростью 15 км/ч. Найдите время, через которое они встретятся, если расстояние между деревнями составляет 90 км.

Чтобы найти время встречи, мы можем сначала найти расстояние, которое один велосипедист проезжает до встречи, а затем использовать это расстояние для определения времени.

Скорость можно выразить в формате расстояния, делённого на время. Давайте обозначим время, через которое они встретятся, за \( t \) часов.

Расстояние, которое первый велосипедист проезжает до встречи будет равно \( 20 \cdot t \) км. А расстояние, которое второй велосипедист проезжает будет \( 15 \cdot t \) км.

Так как расстояние между деревнями составляет 90 км, то сумма этих расстояний должна быть равна 90:

\( 20t + 15t = 90 \)

Сводя подобные члены:

\( 35t = 90 \)

Делим обе стороны на 35:

\( t = \frac{90}{35} \)

Упростим дробь:

\( t \approx 2.571 \) часа.

Таким образом, время встречи для двух велосипедистов составляет примерно 2.571 часа.