1) Чему равна сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность, если известно, что она равна 2? 3) Чему

  • 17
1) Чему равна сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность, если известно, что она равна 2?
3) Чему равны стороны правильного четырехугольника и правильного треугольника, описанных около одной и той же окружности?
4) Каковы площади правильного треугольника и правильного шестиугольника, описанных около одной и той же окружности, если известно, что сторона треугольника равна корню из 3?
Добрый_Ангел
14
Предоставлю пошаговые решения для каждой задачи.

1) Чтобы найти сторону правильного четырехугольника, вписанного в окружность, можно использовать свойства данной фигуры. Если сторона четырехугольника равна 2, то для нахождения радиуса окружности воспользуемся формулой:
\[Радиус = \frac{Сторона}{2 \times \sin(\frac{180}{\text{количество сторон}})}\]

В данном случае, количество сторон равно 4. Подставим данные в формулу:

\[Радиус = \frac{2}{2 \times \sin(\frac{180}{4})} = \frac{2}{2 \times \sin(45^\circ)} = \frac{2}{2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2}{\frac{2}{\sqrt{2}}} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]

Таким образом, сторона правильного четырехугольника равна \(\sqrt{2}\).

2) Если правильный четырехугольник и правильный треугольник описаны около одной и той же окружности, то радиус этой окружности будет равен стороне такого четырехугольника и треугольника. Таким образом, стороны будут равны величине, которую мы нашли в первой задаче, и равные \(\sqrt{2}\).

3) Для нахождения площади правильного треугольника и правильного шестиугольника, описанных около одной и той же окружности, нужно использовать соответствующие формулы.

Площадь правильного треугольника можно найти по формуле:
\[Площадь = \frac{\sqrt{3} \times \text{сторона}^2}{4}\]

В данном случае, сторона треугольника равна \(\sqrt{2}\). Подставим данные в формулу:
\[Площадь = \frac{\sqrt{3} \times (\sqrt{2})^2}{4} = \frac{\sqrt{3} \times 2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Площадь правильного шестиугольника можно найти по формуле:
\[Площадь = \frac{3 \times \sqrt{3} \times (\text{сторона})^2}{2}\]

В данном случае, сторона шестиугольника равна \(\sqrt{2}\). Подставим данные в формулу:
\[Площадь = \frac{3 \times \sqrt{3} \times (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{3 \times \sqrt{3} \times 2}{2} = 3\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь правильного треугольника равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), а площадь правильного шестиугольника равна \(3\sqrt{3}\).