1. Чему равно скалярное произведение векторов а(-4;3;0) и b(5;7;-1)? (продолжить) 2. В случае, если аb = 5, каков угол

Зарина

70

Конечно! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Чтобы найти скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\), мы используем следующую формулу:
\[
a \cdot b = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3
\]
где \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) - координаты вектора \(a\) и \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) - координаты вектора \(b\).

В данном случае, у нас есть вектор \(a(-4;3;0)\) и вектор \(b(5;7;-1)\), поэтому мы можем подставить данные значения в формулу и вычислить:
\[
a \cdot b = (-4) \cdot 5 + 3 \cdot 7 + 0 \cdot (-1) = -20 + 21 + 0 = 1
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(a(-4;3;0)\) и \(b(5;7;-1)\) равно 1.

2. Теперь рассмотрим векторное произведение векторов \(a\) и \(b\), которое обозначается как \(ab\). В данном случае, нам дано, что \(ab = 5\).

Для нахождения угла между векторами \(a\) и \(b\) мы можем использовать следующую формулу:
\[
cos(\theta) = \frac{{a \cdot b}}{{\|a\| \cdot \|b\|}}
\]
где \(\theta\) - искомый угол, \(a \cdot b\) - скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\), \(\|a\|\) и \(\|b\|\) - длины векторов \(a\) и \(b\) соответственно.

Мы уже знаем значение скалярного произведения \(a \cdot b\), а длины векторов \(a\) и \(b\) можно найти с помощью формулы:
\[
\|a\| = \sqrt{{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}}
\]
\[
\|b\| = \sqrt{{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}
\]

Подставим известные значения и решим уравнение:
\[
cos(\theta) = \frac{5}{{\sqrt{{(-4)^2 + 3^2 + 0^2}} \cdot \sqrt{{5^2 + 7^2 + (-1)^2}}}}
\]

\[
cos(\theta) = \frac{5}{{\sqrt{{16 + 9 + 0}} \cdot \sqrt{{25 + 49 + 1}}}} = \frac{5}{{\sqrt{{25}} \cdot \sqrt{{75}}}}
\]

\[
cos(\theta) = \frac{5}{{5 \cdot \sqrt{{3}}}} = \frac{1}{{\sqrt{{3}}}} = \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}
\]

Теперь найдем значение угла \(\theta\) с помощью тригонометрической функции \(cos^{-1}\):
\[
\theta = cos^{-1}\left(\frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}\right)
\]

\(\theta\) примерно равен 30.96 градусов (округлено до двух десятичных знаков).

Итак, угол между векторами \(a\) и \(b\) при условии \(ab = 5\) примерно равен 30.96 градусов.

3. Для нахождения угла между векторами \(a(2;-2;0)\) и \(b(3;0;-3)\) мы также можем использовать ту же формулу:
\[
cos(\theta) = \frac{{a \cdot b}}{{\|a\| \cdot \|b\|}}
\]

Найдем сначала скалярное произведение:
\[
a \cdot b = (2) \cdot (3) + (-2) \cdot (0) + 0 \cdot (-3) = 6 + 0 + 0 = 6
\]

Затем найдем длины векторов:
\[
\|a\| = \sqrt{{2^2 + (-2)^2 + 0^2}} = \sqrt{{4 + 4 + 0}} = \sqrt{{8}} = 2\sqrt{{2}}
\]
\[
\|b\| = \sqrt{{3^2 + 0^2 + (-3)^2}} = \sqrt{{9 + 0 + 9}} = \sqrt{{18}} = 3\sqrt{{2}}
\]

Теперь найдем значение угла:
\[
cos(\theta) = \frac{6}{{2\sqrt{{2}} \cdot 3\sqrt{{2}}}} = \frac{6}{{6 \cdot 2}} = \frac{1}{2}
\]

\[
\theta = cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)
\]

Угол \(\theta\) примерно равен 60 градусов.

Таким образом, угол между векторами \(a(2;-2;0)\) и \(b(3;0;-3)\) составляет примерно 60 градусов.