1. Что будет суммой членов арифметической прогрессии с 15-го по 30-й включительно, если первый член равен 9 и 26-й член

Zagadochnyy_Kot

32

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

Задача 1. Чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии, мы можем воспользоваться формулой для суммы таких членов. Формула выглядит следующим образом:

\[S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n),\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

В данной задаче первый член равен 9, а 26-й член равен 44. Нам нужно найти сумму членов от 15-го по 30-й включительно. Чтобы найти последний член этого отрезка, нам нужно знать разность прогрессии \(d\). Поскольку нам даны только значения первого и 26-го членов, мы можем найти разность следующим образом:

\[d = a_{26} - a_1 = 44 - 9 = 35.\]

Теперь мы можем найти сумму членов от 15-го по 30-й:

\[\begin{align*}
S_{30} &= \frac{30}{2} \times (a_1 + a_{30}) \\
&= \frac{30}{2} \times (9 + (9 + (30-1) \times 35)) \\
&= \frac{30}{2} \times (9 + 9 + 29 \times 35) \\
&= \frac{30}{2} \times (18 + 1015) \\
&= \frac{30}{2} \times 1033 \\
&= 15 \times 1033 \\
&= 15495.
\end{align*}\]

Таким образом, сумма членов арифметической прогрессии с 15-го по 30-й равна 15495.

Задача 2. Мы можем решить эту задачу, проверив, удовлетворяет ли последовательность \(y_n\) арифметической прогрессии уравнению \(y_{17} + y_{5} = y_{10} + y_{12}\).

Для того чтобы доказать это, мы должны показать, что величина \(y_{17} + y_{5}\) равна величине \(y_{10} + y_{12}\).

Так как последовательность \(y_n\) является арифметической прогрессией, мы можем выразить общий член этой последовательности с помощью следующей формулы:

\[y_n = a + (n-1)d,\]

где \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Так как мы не знаем значения первого члена и разности прогрессии, мы не можем применить точные числа в этом решении, но можем использовать общую формулу.

Подставим формулу в уравнение:

\[a + (17-1)d + a + (5-1)d = a + (10-1)d + a + (12-1)d.\]

Упростим это уравнение:

\[2a + 16d + 2a + 4d = 2a + 9d + 2a + 11d,\]
\[4a + 20d = 4a + 20d.\]

Таким образом, это уравнение верно для любых значений \(a\) и \(d\), что означает, что последовательность \(y_n = a + (n-1)d\) удовлетворяет уравнению \(y_{17} + y_{5} = y_{10} + y_{12}\).

Задача 3. Чтобы найти сумму всех нечётных натуральных чисел от 40 до 160 включительно, мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n),\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

В данной задаче первое нечётное число равно 41, а последнее нечётное число равно 159. Мы можем заметить, что все нечётные числа можно представить в виде арифметической прогрессии с разностью 2. То есть, каждое следующее число можно получить прибавлением 2 к предыдущему.

Используя формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n),\]

где \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии, мы можем найти сумму всех нечётных чисел:

\[\begin{align*}
S_n &= \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \\
&= \frac{n}{2} \times (41 + 159).
\end{align*}\]

Для нахождения количества членов прогрессии (\(n\)), мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии, подставив разность равную 2 и последний член равный 159:

\[a_n = a_1 + (n-1)d,\]
\[159 = 41 + (n-1)2,\]
\[118 = 2n - 2,\]
\[2n = 120,\]
\[n = 60.\]

Теперь мы знаем, что в данной последовательности 60 нечётных чисел.

Подставим это значение в формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{60}{2} \times (41 + 159),\]
\[S_n = 30 \times 200,\]
\[S_n = 6000.\]

Таким образом, сумма всех нечётных натуральных чисел от 40 до 160 включительно равна 6000.

Задача 4. Чтобы найти формулу для \(n\)-го члена арифметической прогрессии \(x_n\), мы можем воспользоваться формулой:

\[x_n = a + (n-1)d,\]

где \(a\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

В данной задаче первый член равен 32, а разность равна \(-2.7\). Подставим значения в формулу:

\[x_n = 32 + (n-1)(-2.7).\]

Таким образом, формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии \(x_n\), при данных значениях первого члена и разности, будет:

\[x_n = 32 + (n-1)(-2.7).\]

Чтобы найти первый отрицательный член этой прогрессии, мы должны решить неравенство:

\[x_n < 0.\]

Подставим формулу в неравенство и решим его:

\[32 + (n-1)(-2.7) < 0,\]
\[(n-1)(-2.7) < -32,\]
\[n-1 > \frac{-32}{-2.7},\]
\[n-1 > \frac{320}{27}.\]

Таким образом, первый отрицательный член этой арифметической прогрессии будет находиться после округления \(\frac{320}{27}\) в большую сторону на единицу. Вычислять округление десятичных чисел требуется по условиям задачи.

Это вычисление может быть сложным, поэтому давайте вычислим окончательный ответ.