1) Что мы должны найти? Координаты точек пересечения окружности (с центром в точке О(4; -3)) с осями координат

Диана

16

Задача 1:
Нам нужно найти координаты точек пересечения окружности с осями координат. Рассмотрим окружность с центром в точке \(О(4; -3)\). Чтобы найти точки пересечения, нам нужно найти значения координат, где окружность пересекает оси.

Для начала, рассмотрим пересечение окружности с осью \(Ox\). Поскольку ось \(Ox\) представляет собой горизонтальную линию, мы ищем значение \(x\), когда \(y = 0\).
Уравнение окружности можно представить в виде:
\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\),
где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Подставим координаты центра окружности в уравнение окружности:
\((x - 4)^2 + (y + 3)^2 = r^2\).

Теперь найдем пересечение окружности с осью \(Ox\). Подставим \(y = 0\) в уравнение окружности:
\((x - 4)^2 + (0 + 3)^2 = r^2\),
\((x - 4)^2 = r^2 - 9\).

В данном случае радиус окружности (\(r\)) неизвестен, но нам не требуется его значение для определения координат пересечения с осью \(Ox\).

Решим уравнение:
\((x - 4)^2 = r^2 - 9\),
\(x - 4 = \sqrt{r^2 - 9}\) (так как \(x \geq 4\)),
\(x = 4 + \sqrt{r^2 - 9}\).

Таким образом, координата точки пересечения окружности с осью \(Ox\) будет \(x = 4 + \sqrt{r^2 - 9}\).

Аналогично, рассмотрим пересечение окружности с осью \(Oy\). Поскольку ось \(Oy\) представляет собой вертикальную линию, мы ищем значение \(y\), когда \(x = 0\).
Подставим \(x = 0\) в уравнение окружности:
\((0 - 4)^2 + (y + 3)^2 = r^2\),
\((-4)^2 + (y + 3)^2 = r^2\),
\(16 + (y + 3)^2 = r^2\).

Так как радиус окружности (\(r\)) неизвестен, нам не требуется его значение для определения координат пересечения с осью \(Oy\).

Решим уравнение:
\(16 + (y + 3)^2 = r^2\),
\((y + 3)^2 = r^2 - 16\),
\(y + 3 = \sqrt{r^2 - 16}\) (так как \(y \geq -3\)),
\(y = -3 + \sqrt{r^2 - 16}\).

Таким образом, координата точки пересечения окружности с осью \(Oy\) будет \(y = -3 + \sqrt{r^2 - 16}\).

Итак, координаты точек пересечения окружности с осями координат будут:

\(A\left(4 + \sqrt{r^2 - 9}, 0\right)\) и \(B\left(0, -3 + \sqrt{r^2 - 16}\right)\).

Задача 2:
Нам нужно найти координаты точки \(A\) на окружности, которая наиболее удалена от начала координат.
Опишем процедуру для решения этой задачи:

1. Запишем уравнение окружности в общем виде. Пусть радиус окружности равен \(r\), а координаты точки \(A\) равны \((x, y)\). Тогда уравнение окружности может быть записано как:
\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\),
где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

2. Учитывая условие задачи, наиболее удаленная точка от начала координат будет лежать на окружности и иметь наибольшее значение радиуса.
Таким образом, для нахождения точки \(A\) с наибольшим расстоянием до начала координат, мы должны найти радиус окружности (\(r\)), который будет максимальным.

3. Рассмотрим уравнение окружности из пункта 1. Если мы применим квадратичный анализ этого уравнения, то получим каноническое уравнение окружности вида:
\((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\),
где \(R = \sqrt{r^2}\).

4. Радиус окружности (\(r\)) будет максимальным, если радиус \(R^2\) будет максимальным.

5. Чтобы найти точку \(A\) с наибольшим расстоянием до начала координат, нам нужно найти координаты центра окружности (\((a, b)\)) и вычислить максимальное значение радиуса \(R\).

Итак, решение задачи сводится к вычислению радиуса, найденному в пункте 5, и использованию его значения для нахождения координат точки \(A\) на окружности.

Надеюсь, это подробное объяснение поможет понять, как решить задачу. Если вам нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте знать!