1. Что нужно найти для функции f(x)=x^2+3cosx? 2. Что нужно найти для функции e^1-x-4sin(2x+3)?

Жанна

35

Давайте решим задачи по порядку:

1. Для функции \(f(x) = x^2 + 3 \cos x\) нам нужно найти несколько вещей:

а) Необходимо определить область определения функции \(f(x)\). В данном случае, так как функция содержит косинус, мы знаем, что аргумент косинуса (\(x\)) должен принадлежать множеству всех действительных чисел \(\mathbb{R}\).

б) Найдем производную функции \(f(x)\) для нахождения экстремумов и точек перегиба. Возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности и применим правила дифференцирования. Таким образом, производная функции \(f(x)\) будет:

\[
f"(x) = \frac{{d}}{{dx}} (x^2) + \frac{{d}}{{dx}} (3 \cos x) = 2x - 3 \sin x
\]

в) Для нахождения экстремумов функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
2x - 3 \sin x = 0
\]

Это уравнение не имеет аналитического решения, поэтому мы можем использовать численные методы, такие как метод половинного деления или метод Ньютона, чтобы найти приближенные значения корней.

г) Для определения точек перегиба функции нам нужно найти вторую производную и найти значения \(x\), при которых она равна нулю или несуществует. Вычислим вторую производную функции \(f(x)\):

\[
f""(x) = \frac{{d}}{{dx}} (2x - 3 \sin x) = 2 - 3 \cos x
\]

Для поиска точек перегиба, приравняем \(f""(x)\) к нулю и решим уравнение:

\[
2 - 3 \cos x = 0
\]

Это уравнение также решается численными методами.

2. Для функции \(e^{1-x} - 4 \sin(2x+3)\) мы также должны найти несколько вещей:

а) Область определения зависит от функций, содержащихся внутри. Функция \(e^{1-x}\) может быть определена для любого значения \(x\) (так как экспонента определена для всех действительных чисел \(\mathbb{R}\)), аргумент синуса может быть любым, так как синус определен для всех значений \(\mathbb{R}\). Следовательно, область определения для \(e^{1-x} - 4 \sin(2x+3)\) равна \(\mathbb{R}\).

б) Мы можем взять производные от каждого слагаемого и сложить их, чтобы найти производную функции:

\[
f"(x) = \frac{{d}}{{dx}} (e^{1-x}) - \frac{{d}}{{dx}} (4 \sin(2x+3))
\]

Дифференцируя каждое слагаемое, мы получим:

\[
f"(x) = -e^{1-x} - 8 \cos(2x+3)
\]

в) Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[
-e^{1-x} - 8 \cos(2x+3) = 0
\]

Поскольку это нелинейное уравнение, мы можем использовать численные методы для его решения.

г) Чтобы найти точки перегиба, мы должны вычислить вторую производную функции \(f(x)\). Для этого, найдем вторую производную каждого слагаемого и сложим:

\[
f""(x) = \frac{{d^2}}{{dx^2}} (-e^{1-x}) - \frac{{d^2}}{{dx^2}} (8 \cos(2x+3))
\]

Рассчитав вторые производные, получим:

\[
f""(x) = -e^{1-x} - 16 \sin(2x+3)
\]

Чтобы найти точки перегиба, приравняем \(f""(x)\) к нулю и найдем приближенные значения с использованием численных методов.