1. Что такое площадь треугольника, если его стороны равны 13см и 6см, а угол между ними составляет 30°? 2. Как решить

Cvetochek

23

Задача 1: Что такое площадь треугольника, если его стороны равны 13 см и 6 см, а угол между ними составляет 30°?

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу, известную как "полупроизведение основания и высоты". В этом случае, основание - это одна из сторон треугольника, а высота - расстояние от этой стороны до противоположного угла.

Для начала, нам нужно найти высоту треугольника. Мы можем использовать тригонометрию для этого. У нас уже есть известный угол между сторонами треугольника, поэтому можем воспользоваться тангенсом угла.

Тангенс 30° равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (стороне треугольника).

\[\tan(30^\circ) = \frac{{\text{{высота}}}}{{6 \, \text{{см}}}}\]

Чтобы найти высоту, можно переписать формулу следующим образом:

\[\text{{высота}} = \tan(30^\circ) \times 6 \, \text{{см}}\]

Применяя формулу, получим:

\[\text{{высота}} = \frac{{1}}{{\sqrt{3}}} \times 6 \, \text{{см}} \approx 3.464 \, \text{{см}}\]

Теперь, когда у нас есть высота, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[\text{{площадь}} = \frac{{\text{{основание}} \times \text{{высота}}}}{2}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\text{{площадь}} = \frac{{13 \, \text{{см}} \times 3.464 \, \text{{см}}}}{2} \approx 22.526 \, \text{{см}}^2\]

Таким образом, площадь треугольника составляет приблизительно 22.526 см².

Задача 2: Как решить неравенство \(7x^2 - 3x - 4 > 0\)?

Чтобы решить это неравенство, нужно найти значения x, при которых \(7x^2 - 3x - 4\) положительно (больше нуля).

Шаг 1: Решите квадратное уравнение \(7x^2 - 3x - 4 = 0\).

Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для нахождения корней этого уравнения:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 7\), \(b = -3\) и \(c = -4\).

Подставляя значения, имеем:

\[D = (-3)^2 - 4(7)(-4) = 9 + 112 = 121\]

Шаг 2: Проверьте, сколько корней уравнения.

Если дискриминант положителен (\(D > 0\)), то квадратное уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то уравнение имеет один корень. Если дискриминант отрицателен (\(D < 0\)), то уравнение не имеет решений.

В нашем случае, \(D = 121 > 0\), поэтому у нас будет два различных корня.

Шаг 3: Найдите корни уравнения.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставляя значения, получаем:

\[x = \frac{{-(-3) \pm \sqrt{121}}}{{2 \cdot 7}} = \frac{{3 \pm 11}}{{14}}\]

Таким образом, получаем два корня:

\[x_1 = \frac{{3 + 11}}{{14}} = \frac{{14}}{{14}} = 1\]
\[x_2 = \frac{{3 - 11}}{{14}} = \frac{{-8}}{{14}} = -\frac{{4}}{{7}}\]

Шаг 4: Определите знак неравенства на каждом из интервалов между корнями.

Теперь, чтобы узнать, когда \(7x^2 - 3x - 4 > 0\), нужно определить знак этого выражения на каждом из интервалов.

- Между \(-\infty\) и \(-\frac{{4}}{{7}}\), неравенство будет удовлетворяться, так как \(7x^2 - 3x - 4\) будет положительным.
- Между \(-\frac{{4}}{{7}}\) и 1, неравенство не будет удовлетворяться, так как \(7x^2 - 3x - 4\) будет отрицательным.
- Между 1 и \(\infty\), неравенство будет удовлетворяться.

Таким образом, неравенство \(7x^2 - 3x - 4 > 0\) верно для интервала \(-\infty < x < -\frac{{4}}{{7}}\) и для интервала \(1 < x < \infty\).